类型五 二次根式的复合化简-2022-2023学年八年级数学下册题型突破提高（苏科版）

类型五、二次根式的复合化简 【解惑】 阅读材料：把根式x±2F进行化简，若能找到两个数m、n, 是m2+m2=x且mm=5,则把x±2下变成m+n2±2mn=(m士m)开方，从而 使得±25化简. 例如：化简√3+2√瓦 解：“3+22=1+2+22=P+(V2)+2x1×2=1+2) V3+2W2=V0+2)=1+2: 【融会贯通】 1设3+2+√3+后=F+厅+E,且x、yz为有理数，则x×yz=（) A寻 a名 c 。8 2.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有 价值的东西，这是数学解题的一个重要原则“， 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如a2±2ab+b2=(a地)2，那么 √a2±2ab+b=a±b,如何将双重二次根式V5±2W6化简.我们可以把5±26转化为 (±26+(2=(5±2完全平方的形式，因此双重二次根式 5±2后=5±=5±2得以化简。 材料=：在直角坐标系x0y中，对于点Px,y和QK,y给出如下定义：若y·=之0) L-y(x<0) 则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如：点3,2)的横负纵变点"为3,2)，点(-2,5)的“横 负纵变点"为-2，-5.问题： (1)点(2，-⑤)的“横负纵变点"为 一，点(-35，-2的“横负纵变点"为一 (2)化简：√7+20 3先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如√m±2√的化简，只要我们找到两个正数a、b,使a+b=m,a-b=72,使得 (Na)2+(Nb)2=m,√ab=n,那么便有： Vm±2Wn=tB)=a±b(a>b) 例如：化简V7+4√万 解：首先把V7+4√5化为V7+2√2，这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12 即(4)2+(N5)}=7,√4x√5=2 7+4W5=7+22=4+5=2+5 (1)填空：√6-25=一，V10+46 (2)化简：√29-8. 的当的金 【知不足】 1.小颗利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程√x-2 2 +\sqrt{x}-7=5的过程。 解：设\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-7=m，与原方程相乘得： （\sqrt{x}-2+\sqrt{x}-7)×(\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-7）=5m， x-2-(x-7)=5m，解之得m=1， ：\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-7=1，与原方程相加得： （x-2+\sqrt{x}-7)+(\sqrt{x}-2-\sqrt{k}-7)=5+1 2\sqrt{x}-2=6，解之得，x=11，经检验，x=1是原方程的根。 学习借鉴解法，解方程\sqrt{x}-3-\sqrt{x}=6=1. 2．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如\sqrt{m}±2\sqrt{n}的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=”，这样 ()+(5)=m\sqrt{v}-\sqrt{b}=\sqrt{1}，那么便有\sqrt{m}+2\sqrt{n}-\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{h}±\sqrt{b}(a>b)。例如：化 简\sqrt{7}+4\sqrt{5}解：首先把\sqrt{7}+4\sqrt{5}化为\sqrt{7}+2\sqrt{2}，这里w=7，n=12﹔由于4+3=7， 4x3=12，即(\sqrt{4})+(5)=7，45=\sqrt{5} 由上述例题的方法化简： （1)\sqrt{3}+2\sqrt{2}+ (2)\sqrt{7}-\sqrt{0}· 3，先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如\sqrt{m}±2\sqrt{n}的化简，我们只要找到两个数a， b,使a+b=m,,即(Na)2+(B)2=m,√a√b=√n,那么便有： Vm±2n=VWa±Vb=Na±b(a>b>0): 例如化简：V7+45 解：首先把√7+45化为V7+212, 这里m=7,n=12, 由于4+3=7,4×3=12， 所以(4)2+(5)2=7，√4×√5=√2， 所以V7+45=V7+2W12=V(W4+5)2=2+√5 (1)根据上述方法化简：√4+2√3 (2)根据上述方法化简：√3-2√42 (3)根据上述方法化简：√4-15 4.先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质 化去一层根号， 例如：V3+2W2=V3+2x1xV互=+2x1×V2+(2) =1+2=+-1+2. 解决问题：化简下列各式 (1)V7+45: 21V9-4W5. 凸A叠00 【一览众山小】 1.先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如√m±2√n的式子化简，只要找到两个数a、b(a2b