专题07 复数（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题7 复数 （一）复数的概念 1.复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. 全体复数构成的集合叫做复数集. 2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 3.复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 4.复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件. 5.复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔. (2)集合表示： （二）复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) ＝＋i (z2≠0)． 2. 复数的加、减法几何意义及运算律 z1、z1、z3∈C，设、分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且、不共线 加法 减法 几何 意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3 ＝z1＋(z2＋z3) 3．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． 5．共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6). 6．in(n∈N*)的性质 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i， 从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N*，那么有 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. （三）复数的几何意义 1.复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系. (2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是 (a，b)，不是(a，bi). (3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系. 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量 表示. 复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下： 3.复数的模 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝ 　 当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值. 4.复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离. 由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离. （四）复数的三角形式及其运算 1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)= r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] (2) ＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角