第二章 5 简单复合函数的求导法则-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com■ 您身边的互联网+教辅专家 §5简单复合函数的求导法则 学习目标 1.通过对复合函数的概念及求导法则的学习，了解复合函数的概念， 能求简单的复合函数的导数，提升逻辑推理素养及数学运算素养， 2.通过对复合函数求导应用的学习，能利用复合函数的求导法则解决 一些简单的问题，提升数学运算素养。 知识梳理·自主探究 公情境导入 探究：y=ln(x+2)的结构特征是什么？ 答案：令u=x+2,则y=1nu.因此y=ln(x+2)可看成是由u=x+2和y=1n u复合而成的. 知识探究 问题：请利用导数的除法法则求出函数y一厅的导数，若将函数y 2x看作函数yu3和u=2x-1的复合函数，分别求出yu3和 1 u=2x-1的导数，观察y'x与y'u·u'x有何关系？ 提示：可求得函数y2的导数为y'x2,函数yu3的导数为 y′u-3u4,u=2x-1的导数为u'x2,y'u·u'x(u3)′(2x-1)' =6u46(2x-1)42x=y'x 简单复合函数的求导 (1)复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)=ax+b,如果给定x的一个值， 就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 这个函数为函数y=f(u)和u=(x)的复合函数，记作yf((x),其中 u为中间变量. (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f((x)对x的导数为 y'x[f((x)]'=f'(u'(x,其中u=g(x). 思考：函数y=1og2(x+1)是由哪些函数复合而成的？ 提示：函数y=1og2(x+1)是由y=1og2u及u=x+1两个函数复合而成的. 做一做1：函数y=(3x-4)2的导数是(D) A.4(3x-2) B.6x C.6x(3x-4)D.6(3x-4) 解析：y'=[(3x-4)2]′=2(3x-4)·3=6(3x-4).故选D. 做一做2：函数y=cos(3x)的导数为 解析：y'=[cos(件-3x)]'=-sin(件3x)·(3)-3sin(件3x). 答案：3sin(-3x) Q拓展总结 求解复合函数的导数时需留意： (1)正确区分所给函数是不是复合函数： (2)正确判断是由哪些基本初等函数复合而成： (3)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的 复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导. 师生互动·合作探究 ·独家授权侵权必究· 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ②探究点二 复合函数的定义 [例1]指出下列函数是怎样复合而成的. (1)y=(3+5x)2: (2)y=1og3(x2-2x+5); (3)y=cos 3x. 解：(1)y=(3+5x)2是由函数yu2,u=3+5x复合而成的. (2)y=1og(x2-2x+5)是由函数y=1og3u,u=x22x+5复合而成的. (3)y=cos3x是由函数y=c0su,u=3x复合而成的. Q方法总结 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体 函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基 本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数 或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数 [针对训练] (2022·江苏高二课时练习)指出以下函数是由哪两个 函数复合而成的， (1)y=(3+sinx)4:(2)yln2克； 3)y-22x-1:(4yF10s 解：(1)原函数可看作t=3+sinx与y=t4复合而成. (2)原函数可看作t=2x+1与y=-1nt复合而成. (3)原函数可看作t=2x-1与y-2t复合而成 (4)原函数可看作t=1-cosx与y复合而成. ·独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ②探究点二 求复合函数的导数 [例2]求下列函数的导数. (1)y=e2x+1 (2)y=51og2(1-x): (3)y=sin3x+sin 3x. 解：(1)函数y=e2x1可看作函数y=e“和u=2x+1的复合函数，所以y' x y'u·u'x=(e)'(2x+1)′=2e-2e2x1. (2)函数y=51og2(1-x)可看作函数y=51og2u和u=1-x的复合函数，所 以y'y'·u'x(61og2)'·(1-x)′=品x. 5 (3)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sinx的复合函数，函数y sin3x可看作函数y=sinv和v=3x的