第二章 3 导数的计算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 §3导数的计算 学习目标 1.通过由导数定义求导数的学习，掌握根据导数定义求简单函数的导 数，提升数学运算素养。 2.通过学习基本初等函数的导数公式，记住基本初等函数的求导公 式，并能用它们求简单函数的导数，提升数学运算的核心素养. 知识梳理·自主探究 ②情境导入 探究：己知函数f(x)=-x2+2,求f'(1), f'（之，f'(x的值. 答案：f' (1)=1im二1+Aw2+2-(1+2 △x △x*0 =1im(-2-△x)=-2, △x→0 f'（分=1im (2+△0)2+2-(+2) △x→0 △x =lim。 (1-△x)=1. △x-0 f'(xo)=lim -(x0+△x)2+2-(←x6+2) △x △x→0 =lim(-2x0△x)=-2xo. △x→0 公知识探究 问题1：在上面[情境导入]中的函数f(x)=-x2+2,若己知f'(xo),可以 求f'(①)和f'(吗？若xo是一变量x,则f'(x)还是常量吗？ ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 提示：可以.只要令x01,x02即可求得.因为f'(x)=-2x,说明f' (x)不是常量，其值随自变量x的改变而改变 1.导函数的概念 一般地，如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数f' (x)=lim+ae-f②，那么f'(x)是关于x的函数，称f'(x)为 △x △x+0 y=f(x)的导函数，也简称为导数 思考1：f'(x)与f'(x)有什么区别？ 提示：f'(x)是一个确定的数，而f'(x)是一个函数 做一做：若函数f(x)=(x-1)2,那么f'(x)= 解析：因为f(x)=x2-2x+1, 所g+f四-2x*Ax-2 △x 故f'()=1im是1m2x+△x-2）=2x-2 △x→01 △x→0 答案：2x-2 问题2：利用导数的定义求f(x)=1的导函数，并求f'(2),f'(3). 提示：因为Ayfx+a0-fW)=1-1=0,兰0， 当△x趋于0时，趋于0， 所以f'(x)=0, 所以有f′(2)=0，f(3)=0. 2.基本初等函数的导数公式 函数 导数 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 y=c(c是常数) y'=0 yxa(a是实数) y'=axa-1 y'=aIn a y-ax(a>0,a≠1) 特别地(e)'=e y'1 xlna y=1ogax(a>0,a≠1) 特别地(1nx)' y=sin x y'=cos x y=cos x y'=-sin x y=tan x 1 cos2x 思考2：(1)函数f(x)=a的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关 系？ (2)函数f(x)=1ogax的导数与函数f(x)=lnx的导数之间有什么关系？ 提示：(1)f(x)=e是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其 导数f'(x)=ex也是f'(x)=alna在a=e时的特殊情况. (2)f(x)=lnx是f(x)=logx的一个特例，f(x)=1nx的导数也是 f(x)=1ogax的导数的特例. 。拓展总结 (1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关 键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积 极地进行联想化归. 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 (2)有些函数可先化简再应用公式求导，如求y=1-2si的导数，因为 y=1-2si72cosx,所以y'=(cosx)′=-sinx (3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化；二是注意 函数符号的变化. 师生互动·合作探究 ②探究点一 利用导数公式求函数的导数 [例1](1)若f(x)=x3,g(x)=1gx,则f'(x)-g'(x)= (2)求下列函数的导数， ①y=x12;②y是：③y-4:④y=1ogsx. (①)解析：因为f(=3gg(6)0 所以f'(x)-g'(x)=3x2- xln10 答案：3x (2)解：①y'=(x12)′=12x ②y'=()′=(x′=-4x54 ③y'=(4)'=41n4. ④y'=(1ogx)'=1 xln5' Q方法总结 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解。 (2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基 本原则，避免不必要的运算失误 ·独家授权侵权必究。 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b