第二章 2 导数的概念及其几何意义-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

§2　导数的概念及其几何意义 2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 学习目标 1.通过学习导数的概念和导数的几何意义,了解导数的概念,理解导数的几何意义,发展数学抽象及直观想象的核心素养. 2.借助学习切线方程的求解,会求曲线上某点处的切线方程,提升数学运算的核心素养. 探究:对于函数y=f(x),当x从x0变到x1时,求函数值y关于x的平均变化率.当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数吗? 答案:==.当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数. 问题1:质点M的运动规律为s(t)=4t2,如何求质点M在t=1时的瞬时速度? 提示:因为Δs=s(1+Δt)-s(1)=4(1+Δt)2-4=4(Δt)2+8Δt,所以=4Δt+8. 当Δt趋于0时,=8,则质点M在t=1时的瞬时速度为8. 1.导数的概念 (1)定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为==.当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数. (2)记法:函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f′(x0)表示,记作f′(x0)==. 思考1:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与Δx有关吗? 提示:导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关. 做一做1:函数f(x)在x0处可导,则 (　B　) A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关,与h无关 C.与x0,h均无关 D.仅与h有关,与x0无关 解析:因为f′(x0)=, 所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B. 问题2:我们知道,函数y=f(x)在[x0,x0+Δx]内的平均变化率的几何意义为:过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率.当Δx变化时,直线如何变化?当Δx→0时,直线变化到哪里? 提示:当Δx变化时,直线AB绕点A转动.当Δx→0时,直线与曲线y=f(x)在点A处相切. 2.导数的几何意义 (1)切线的概念:如图,设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0). (2)导数的几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处的切线的斜率反映了导数的几何意义,即k==f′(x0). (3)切线方程. 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 思考2:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同? 提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f′(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点. 做一做2:若函数f (x)在点A(1,2)处的导数是-1,那么曲线f(x)在点A处的切线方程为　　　　.  解析:由题意知切线的斜率k=-1. 所以曲线f(x)在点 A(1,2)处的切线方程为 y-2=-(x-1), 即x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 (1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过在x0处的切线刻画:f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线斜率为正值,在x0附近曲线是上升的;f′(x0)<0说明曲线在x0处的切线斜率为负值,在x0附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢. (3)在求曲线上某点处的切线方程时,要注意区分切线、切线的斜率和该点处的导数这三者之间的关系,函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件.因此,在求曲线上某点处的切线方程时,如果导数不存在,可由切线的定义来求切线方程. 　求函数在某点处的导数 [例1] (1)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数; (2)求函数y=3x2在x=1处的导数. 解:(1)因为Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)+2=3Δx-(Δx)2, 所以==3-Δx, 所以f′(-1)==