第二章 1 平均变化率与瞬时变化率-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

§1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率 1.2　瞬时变化率 学习目标 1.通过平均变化率和瞬时变化率的学习,理解变化率是描述函数变化快慢的量,发展直观想象和数学抽象的核心素养. 2.借助学习求简单函数的平均变化率,学会利用定义求函数变化率,提升数学运算的核心素养. 若跳水运动员运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 探究:(1)运动员在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是多少? (2)运动员在1≤t≤2这段时间里的平均速度是多少? 答案:(1)在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是==4.05(m/s). (2)在1≤t≤2这段时间里的平均速度是==-8.2(m/s). 问题1:下表是某病人吃完退烧药,他的体温变化情况: x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 观察上表,哪段时间体温变化较快?如何刻画体温变化的快慢? 提示:从20 min到30 min变化较快.用单位时间内的温度变化的大小,即体温的平均变化率可以刻画体温变化的快慢. 1.y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式:平均变化率==. (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 思考1:Δx一定是正的吗?如果用x1和Δx表示x2,那么平均变化率可以怎样表示? 提示:不一定,当x1>x2时是小于0的;x2=x1+Δx,平均变化率表示为=. 问题2: 一辆汽车按规律s=3t2+1(s的单位为m,t的单位为s)做直线运动,求这辆汽车在t=3 s时的瞬时速度. 提示:因为Δs=3(3+Δt)2+1-(3×32+1)=3(Δt)2+18Δt, 所以=3Δt+18. 因为当Δt无限趋于0时,无限趋于18, 所以这辆汽车在t=3 s时的瞬时速度的大小为 18 m/s. 2.瞬时变化率 对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则该函数的平均变化率为==. 如果当Δx趋于0时,平均变化率趋于某个值,那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 思考2:瞬时速度与平均速度的区别和联系? 提示:(1)区别:瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态,而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态,与该段时间内的某一时刻无关. (2)联系:瞬时速度是平均速度的极限值. 平均变化率与瞬时变化率之间的联系 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”,利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是“粗糙不精确的”,当平均变化率中Δx→0时,平均变化率变为瞬时变化率. 　函数的平均变化率 [例1] (1)如图,函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 (2)求y=f(x)=2x2+7在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=1,Δx=时平均变化率的值. (1)解析:===-1.故选B. (2)解:函数f(x)=2x2+7在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为===4x0+2Δx. 当x0=1,Δx=时,平均变化率为4×1+2×=5. 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1. (3)得平均变化率=. [针对训练] (1)设函数y=f(x)=x2-4,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为(　　) A.2.1 B.1.1 C.2 D.0 (2)如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是　　　　.  解析:(1)===2.1. 故选A. (2)由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为,,,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4]. 答案:(1)A　(2)[x3,x4] 　运动物体的平均速度与瞬时速度 [例2] 某一运动物体,在x s时离出发点的距离(单位:m)是f(x)=x3+x2+2x. (1)求该物体在第1 s内的平均速度; (2)求该物体在1 s末的瞬时速度; (3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s? 解:(1)物体在第1 s内的平均速度为= m/s. (2)==6+3Δx+(Δx)2. 当Δx趋于0时,趋于6