第一章 3 等比数列-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 §3等比数列 3.1等比数列的概念及其通项公式 学习目标 1.通过对等比数列概念的学习，理解等比数列的定义，发展数学抽象 素养。 2.通过对等比数列的通项公式及等比中项的学习，掌握等比数列的通 项公式及其应用，提升数学运算素养 3.通过对等比数列的判定与证明的学习，熟练掌握等比数列的判定方 法，发展逻辑推理素养。 知识梳理·自主探究 @情境导入 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.” 探究：如果将“一尺之棰”视为一份，请说出每日依次剩下的部分. 答案1，，，，名，… )知识探究 问题1：观察下面几个数列. ①1,2,4,8,16，… ②1，，，言，六，… ③1，-1,1，-1,1， ④，-1,2，-4,8，… (1)上面几组数列是等差数列吗？为什么？ ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同 特点？ 提示：(1)都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义 (2)从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数. 1.等比数列的定义 (1)文字语言， 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常 数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通 常用字母q表示(q≠0). (2)符号语言. 密=q(g为常数且q≠0，n∈N,). 思考1：在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？ 提示：一定不能为0 问题2：(1)你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？ (2)根据问题(1)中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？ 提示：(1)能.能=q或器=q(n≥2)或ant1Fqan或anq·am1(n≥2)，其 中q为常数且q≠0，n∈N+. (2)能.由a2a1q,ag=a2qa1g2,a4Faq-a1q3,…可猜测ana1qr1(a1q≠ 0). 2.等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为ana1g(a ≠0，q≠0)，该式可推广为an-angn m,其中n,m∈N+. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 思考2：等比数列的通项公式aa1q是关于n的指数型函数吗？ 提示：不一定.当q1时，an是关于n的常数函数 做一做1：在等比数列(an}中，a12,公比q2,若am128,则n 解析：an=2×2n-1=2n,由2n=128,解得n=7. 答案：7 问题3：观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成 为一个等比数列. (1)1, ,9;(2)-1, -4 (3)-12, -3;(4)1, ,1. 提示：(1)±3(2)±2 (3)±6(4)±1 3.等比中项的定义 (1)如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列，我们称G 为a,b的等比中项，且G2=ab,G±√ab. (2)在等比数列{an}中，若mtn=ptq(m,n,p,q∈N),则anan-apQo,特别 地，若mn=2k(m,n,k∈N),则aan.在一个等比数列中，从第2项起， 每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比 中项 思考3：当G2=ab时，G一定是a,b的等比中项吗？ 提示：不一定，如数列0,0,5就不是等比数列. 做一做2：2+V3和2V3的等比中项是(C） A.1B.-1C.±1D.2 ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 眼身边的互联网+数轴专家 解析：根据等比中项的定义有G= ±(2+\sqrt{3})×(2-|3)=±1.故选C ∘拓展总结……… (1)等比数列定义的理解。 ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零。 ②て均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母 次序不能颠倒。 ③如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与 它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列。 (2)等比数列的通项公式。 ①已知首项a_1和公比q，可以确定一个等比数列。 ②在公式a_n=a_1q^m1中有a_ma_bq，n四个量，已知其中任意三个量，可以 求得第四个量。 ③在公式a_n=a_gq^m中，体现了已知任意两项便可求公比q，即可求任意 一项的思想。 =师生互动·台作探究 ◎探究点二等比数列的判定 [例1]已知数列{aa}满足a_1=1，a_m1=2an+1. (1)证明：数列[an+1}