第一章 2 等差数列-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时等差数列的概念及其通项公式 学习目标 1.借助等差数列概念的学习，理解等差数列的概念，发展数学抽象的 素养。 2.通过学习等差数列的通项公式，掌握等差数列的通项公式及运用， 提升数学运算素养， 3.通过对等差数列判定方法的学习，掌握等差数列的判断与证明，提 高数学运算的素养，培养学生的逻辑推理素养。 知识梳理·自主探究 ②情境导入 结合下面的例子，思考数列的共同特征 (1)一个剧场设置了20排座位，从第1排起各排的座位数组成数列： 38,40,42,44,46,…,76. (2)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底 的长度)由大到小可排列为25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5,21. 探究1：这个剧场座位安排有何规律？ 答案：从第2项起，每一项与它的前一项的差都是2. 探究2：这种尺码的排列有何规律？ 答案：从第2项起，每一项与它的前一项的差都是-0.5. 知识探究 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 问题1：观察下列几组数列： ①0,5,10,15,20,25，… ②9,6,3,0,36，… ③2,2,2,2,2,2，… (1)在每个数列中，相邻两项的递推关系是什么？ (2)这几个数列都有什么共同特点？ 提示：(1)分别是ant1an5,am+1an-3,an+1an0. (2)从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数. 1.等差数列的定义 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一 个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公 差，通常用字母d表示。 思考：若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则 这个数列是等差数列吗？ 提示：不一定.必须是同一个常数。 做一做1：若数列{an}的通项公式为an2n+5,则此数列是(A) A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 解析：因为an-2n+5,所以ant12(n+1)+5-2n+7,所以an +1an(2n+7)-(2n+5)=2,所以数列{an}是公差为2的等差数列.故选A. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 问题2：(1)等差数列1,3,5,7，…中，你能归纳出它的通项公式吗？怎 样表示？ (2)结合等差数列的定义，你能得出等差数列的通项公式吗？ 提示：(1)能.an2n-1. a-a=d 马a2=d (2) a-a=d (n-1)个 431=d 将以上(n-l)个等式两边分别相加，可得ana1=(n-1)d,即ana1 +(n-1)d. 2.等差数列的通项公式 若首项是a,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为ana+(n-l)d 做一做2：已知等差数列{an}的首项a14,公差d-2,则通项公式an等 于(C) A.4-2n B.2n-4 C.6-2m D.2n-6 解析：ana1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=2n+6.故选C. 问题3：等差数列{an}任意两项am,am的差是多少个公差？ 提示：由anam(nm)d,得相差(nm)个公差 3.等差数列通项公式的推广 an-am+(n-m)d 做一做3：在等差数列{an)中，若a21,a53,则公差d 解析：d受号-子. ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 您身边的互联网+教辅专家 答案：子 ∘拓展总结… (1)若要说明一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可． (2)由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d可以看出，只要知道首项a_1 和公差d，就可以求出通项公式；反过来，在a_2，d，n，a_n四个量中，只要 知道其中任意三个量，就可以求出另一个量。 =师生互动﹒台作探究 @探究点二、等差数列的判定与证明 [例1]已知数列{an)的通项公式a_n=pn^2+qn(p，q∈R，且p，q为常数)。 (1)当p和q满足什么条件时，数列{a_n}是等差数列? (2)求证：对任意实数p和q，数列{am1-a}是等差数列。 (1)解：欲使数列{aa}是等差数列， 则a_m1-aa=[p(n+1)^2+q(n+1)]-(pn^2+qm)=2pn+p+q应是一个与n无关的 常数， 所以只有2p=0， 即当p=0时，数列{an}是等差数列。 (2)证明：因为a_m1an=2pn+p+q， 所以a_m2-a_n+r=2p(n