第二章 8 数学探究活动（二） 探究函数性质-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

§8　数学探究活动(二):探究函数性质 　　数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程的重要内容. 下面探究三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象与零点性质,并研究三次函数的零点问题. 1.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数是f′(x)=3ax2+2bx+c,根据导函数的几何意义,三次函数的图象分为四种类型: 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下,由于当x→∞时,函数值也趋向∞,因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1,x2且x1<x2的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的零点分布情况如表: a的符号 零点个数 充要条件 a>0(f(x1)为极大值,f(x2)为极小值) 1个 f(x1)<0或f(x2)>0 2个 f(x1)=0或f(x2)=0 3个 f(x1)>0且f(x2)<0 a<0(f(x1)为极小值,f(x2)为极大值) 1个 f(x1)>0或f(x2)<0 2个 f(x1)=0或f(x2)=0 3个 f(x1)<0且f(x2)>0 3.运用三次函数零点的性质探究零点的个数 讨论函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数. 解:易知该函数的定义域是R, f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)=0,得x=0或x=2, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表. x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ a ↘ a-4 ↗ 因此函数f(x)的极大值是f(0)=a, 极小值是f(2)=a-4. ①当a<0或a-4>0,即a<0或a>4时,f(x)有一个零点; ②当a=0或a-4=0,即a=0或a=4时,f(x)有两个零点; ③当a>0且a-4<0,即0<a<4时,f(x)有三个零点. 4.跟进训练下面问题 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点,求实数a的取值范围. 解:f′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1). 由f′(x)=0,得x=-或x=1. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x (-∞,-) - (-,1) 1 (1, +∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故函数f(x)的极大值是f(-)=+a,极小值是f(1)=a-1. 要使函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点, 则需f(x)极大值=+a<0或f(x)极小值=a-1>0, 解得a<-或a>1,故实数a的取值范围为(-∞,-)∪(1,+∞). 　　通过平时对某些数学问题的探究,不仅使得学生对基本知识及基本技能的掌握有所帮助,而且有助于学生把实际生活中特殊的概念和问题推广到一般的概念和问题,或推广命题的条件范围,对结论进行研究或运用.学生的探究能力的培养,在高中阶段比较重要,也是一个难点. 学科网（北京）股份有限公司 $