第二章 7 导数的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 §7导数的应用 7.1实际问题中导数的意义 7.2实际问题中的最值问题 学习目标 1.通过学习导数的实际应用，了解导数在解决利润最大、效率最高、 用料最省等实际问题中的作用，提高数学建模素养 2.通过学习导数在实际问题中的意义，能利用导数求出某些实际问题 的最值，提升逻辑推理、数学运算素养. 知识梳理·自主探究 ②情境导入 探究：已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万 件)的函数关系式为y=一x3+81x-234(x>0),你能求出使该生产厂家获 取最大年利润的年产量吗？ 答案：设y=f(x),即f(x)=x3+81x234(x>0),故f'(x) =-x2+81(x>0).令f′(x)=0,即-x2+81=0, 解得x=9或x=9(舍去). 当0<x<9时，f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增： 当x>9时，f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减 因此，当x9时，y=f(x)取得最大值. 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件 公知识探究 ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 问题1：圆的面积S是半径r的函数，S(r)=r2,那么在r=3时，如何求 面积的变化率？ 提示：面积S在r=3时的变化率即为S'(3)=2m×3-6π. 1.实际问题中导数的意义 自变量x 原函数f(x) 导函数f'(x) 时间 路程 速度 长度 质量 线密度 时间 功 功率 时间 降雨量 隆雨强度 产量 生产成本 边际成本 做一做1：质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且 vv(t),则v'(1)表示(B) A.t=1s时的速度 B.t=1s时的加速度 C.t=1s时的位移 D.t=1s时的平均速度 解析：v(t)的导数v'(t)表示t时刻的加速度.故选B. 问题2：在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数 在该点处取最值吗？ 提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最 值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值。 2.实际问题中的最值问题 ·独家授权侵权必究· 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)在实际问题中，经常会遇到解决一些如而积最小、体积最大、成本 最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题， (2)利用导数解决最优化问题的实质是求函数最值， (3)解决最优化问题的基本思路： 优化问题 用函数表示数学问题 优化问题的答案用导数解决数学问题 上述解决最优化问题的过程是一个典型的数学建模过程 思考：解决实际问题中的优化问题应注意什么？ 提示：在建立函数模型时，应根据实际问题确定函数的定义域. 求解完成得到数学结论后应再把数学结论返回到实际问题中。 做一做2：做一个容积为256m的方底无盖水箱，当所用材料最省时， 它的高为(C)》 A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m 解析：设底面边长为xm,高为hm,则有x2h=256,所以h(x>0).所 用材料的面积设为S2,则有S-4x·h+x2-4x·整+x2-254+x2.S' =2x5,令S'0,得x8,可知此时S既取得极小值，又取得最小值， 因此h=4(m).故选C. 貝拓展总结 (1)利用导数解决实际问题中优化问题的一般步骤！ ①分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出 实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). ②求函数的导函数f'(x),解方程f'(x)=0. ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ③比较函数在区间端点和使f'(x)=0的点的函数值的大小，最大（小） 者为最大（小）值： (2)正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主 要思路.另外需要特别注意：①合理选择变量，正确写出函数的解析式， 给出函数的定义域；②与实际问题相联系；③必要时注意分类讨论思 想的应用。 师生互动·合作探究 )探究点一 实际问题中导数的意义 [例1]某机械厂生产一种木材旋切机械，己知生产总利润c(单位：元) 与产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7000x+600. (1)求产量为1000台时的总利润与平均利润： (2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量： (3)求c'(1000)与c'(1500),并说明它们的实际意义. 解：(1)产量为1000台时的总利润为 c(1000)=-2×10002+7000×1000+600=50006