7.3 复数的三角表示-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

7.3* 复数的三角表示 1.掌握复数的三角表示形式，能够进行复数代数形式与三角形式的转化，掌握复数的三种表达形式之间的关系. 2.通过对复数的乘与除运算的三角表示及几何意义的理解，能进行复数三角形式的相关运算. 解读：通过本节课的学习，要求理解复数的三角表示，接受复数三种形式的表达方式及其之间的关系，会用复数的三角表示形式做复数的乘与除的运算，理解复数三角表达形式的几何意义及复数三角运算的几何意义，能进行与复数相关的三角形式的运算. 知识点1　 复数的三角表示式★★☆ 复数的三角表达式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。 适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z<2π. 【例题精析1】 计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【例题精析2】 的辐角主值为（    ）． A． B． C． D． 【例题精析3】 下列结论中正确的是（    ）． A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 【例题精析4】 已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例题精析5】 复数（为虚数单位）的辐角为______． 【例题精析6】 的三角形式是______． 【对点精练1】 若复数，其中是虚数单位，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【对点精练2】 （i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 【对点精练3】 已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______． 【对点精练4】 设，则______． 【对点精练5】 将复数表示成三角形式是______．（用辐角主值） 【对点精练6】 复数（i为虚数单位）的辐角主值为______． 【对点精练7】 复数的三角形式为______． 【对点精练8】 改写成三角形式为______． 【对点精练9】 （）改写成三角形式为______． 【对点精练10】 若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 【对点精练11】 将复数化为三角形式：______． 【对点精练12】 回答下面两题 (1)求证：； (2)写出下列复数z的倒数的模与辐角： ①；②；③． 知识点2　 复数乘法运算的三角表示及几何意义★☆☆ 复数三角形式的乘法及其几何意义 设 、的三角形式分别是： 简记为 ：模数相乘，幅角相加. 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 知识点3　 复数除法运算的三角表示及几何意义★☆☆ 复数三角形式的除法及其几何意义 设 、的三角形式分别是： 简记为 ：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 知识点4　 复数辐角的主值的求法★☆☆ 复数辐角的主值及其代数运算是复数一章中的难点之一，解题时必须对辐角的主值这一概念深刻理解， 并把它与几何、三角、代数紧密结合。 知识点5　 复数的代数形式与三角形式的互化★☆☆ 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤： 　　1)求出模；2)确定辐角的主值；3)写出其三角形式. 【例题精析1】 已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 【例题精析2】 已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A．－i B．i C．－1 D．1 【例题精析3】 若复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D．1 【例题精析4】 已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【例题精析5】 若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A．不可能为纯虚数 B．在复平面内对应的点可能位于第二象限 C．在复平面内对应的点一定位于第三象限 D．在复平面内对应的点可能位于第四象限 【例题精析6】 下列关于复数z的运算结论，正确的有（      ） A． B． C． D． 【例题精析7】 欧拉公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义