5.2.2导数的四则运算法则-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.2.2 导数的四则运算法则 一 二 三 学习目标 了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导 掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则 能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数 复习回顾 基本初等函数的导数公式： 新课导入 在例2中，当=5时，这时，求关于的导数可以看成求函数 一般地，如何求两个函数和、差、积、商的导数呢？ 例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 新知探究点：两个函数的和、差、积、商的求导法则 探究1 设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′, 它们与f'(x)和g'(x)有什么关系? 再取几组函数试试, 上述关系仍然成立吗? 由此你能想到什么? 概念生成 导数的运算法则1: 一般地，对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则： 即:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差) 和与差的运算法则可以推广[f 1(x)±f 2(x)±…±fn (x)]′＝f 1′(x)±f2 ′(x)±…±f n′(x) 典例分析 解: 例3 求下列函数的导数: 探究2 设f (x)=x2, g(x)=x, 计算[f (x)g(x)]′与f ′(x)g′(x), 它们是否相等? f (x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢? 新知探究点：两个函数的和、差、积、商的求导法则 事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的积(或商)的导数，我们有如下法则： 新知探究点：两个函数的和、差、积、商的求导法则 导数的运算法则2: 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 导数的运算法则3: 两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方. 由函数的乘积的导数法则可以得出： 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 新知探究点：两个函数的和、差、积、商的求导法则 由函数的商的导数法则可以得出： 即 导数运算法则汇总 导数的四则运算法则 典例分析 例4 求下列函数的导数: 解: 巩固练习 课本P78 1.运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5.1节例2. 你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷? 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为 . 计算第2 h与第6 h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. ∴在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 巩固练习 课本P78 2.求下列函数的导数 注意：如果有的函数直接求导比较麻烦，可以考虑将函数式先化简，然后进行求导． 巩固练习 课本P78 典例分析 例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的, 随着水的纯净度的提高, 所需净化费用不断增加. 已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90%； (2) 98%. 解： 典例分析 函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，.它表示净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快. 课堂小结 导数的四则运算法则 2．． $