专题09 解三角形中的范围及最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册）

专题09 解三角形中的范围及最值问题 解三角形中处理范围及最值问题的两种方法 基本不等式结合余弦定理 化角为边 特征：“平方和”和“积” 正弦定理转为三角函数问题 化边为角 特征：整体结构不对称，或者角度有更细致的要求 考点一 化角为边 1.三角形面积的范围及最值问题 2.三角形周长的范围及最值问题 考点二 化边为角 1.与角度有关的范围及最值问题 2.与边长有关的范围及最值问题 考点一 化角为边 1.三角形面积的范围及最值问题 例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由正弦定理得：， ， ，，，，， ，解得：； 由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， . 故选：B. 练习1．（2022秋·贵州遵义·高三统考期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可. 【详解】由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， ，即面积的最大值为. 故选：A. 练习2．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）在中，内角、、的对边分别是、、，且.若是边的中点，且，则面积的最大值为______. 【答案】 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得角，分析可知，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】，由正弦定理可得， 即，由余弦定理可得. ，. 是边的中点，， ，所以， 即，所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以，. 故答案为：. 练习3．（2020春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数. (1)求函数的最小正周期. (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为，再利用即可求出结果； （2）先利用求出角，再结合余弦定理及基本不等式求解的最值，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）由 ， 所以的最小正周期； （2）因为，则，又因为，， 所以，解得， 由余弦定理得， 得，当且仅当时等号成立， 所以， ，即的面积的最大值为. 2.三角形周长的范围及最值问题 例2．（2022秋·安徽滁州·高一安徽省定远中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围. 【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即， 解得：，，当且仅当时取等号， 又，因此b＋c的取值范围是. 故选：B 练习1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答. 【详解】在中，由及正弦定理得：，而， 于是，有， 而，，因此，由余弦定理得， 即有，当且仅当时取等号， 从而，而，则， 所以周长的取值范围为. 故答案为： 练习2．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用正弦定理边角互化即可求解； （2）利用余弦定理结合均值不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 又因为，，所以，即有， 又因为，所以. （2）因为，， 所以由余弦定理可得， 当时，等号成立，所以， 故周长的最小值9. 练习3．（2023·全国·高三专题练习）在中，的平分线交AC于点D，，，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等面积法得，进而结合基本不等式得，，当且仅当时等号成立，再结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设， 因为，，， 所以，即， 所以， 因为根据基本不等式有， 所以，，当且仅当时等号成立， 由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 所以周长的最小值为. 故选：C 考点二 化边为角 1.与角度有关的范围及最值问题 例3．（2021春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ）