第一章 5 数学归纳法-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课时作业word（北师大版）  

*§5　数学归纳法 选题明细表 知识点、方法 题号 数学归纳法的基本原理 1,2,4,7 用数学归纳法证明恒等式 3,6,9,10 用数学归纳法证明不等式 5,8,11 归纳—猜想—证明 12 基础巩固 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步应验证(　C　) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析:由题意得,n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立.故 选C. 2.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(　A　) A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k 3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1) (n∈N+)时,从“n=k到n=k+1”左边需增乘的代数式为(　B　) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 解析:当n=k时,左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),当n=k+1时,左边= (k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(2k+2)=(k+1)·(k+2)·…·(k+k) (2k+1)×2, 故需增乘的代数式为2(2k+1).故选B. 4.已知f(n)=++++…+,则(　C　) A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+ B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=1+++ C.f(n)中共有n2-n+2项,当n=2时,f(2)=1+++ D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=1+++ 解析:由条件可知,f(n)共有项数为n2-(n-1)+1=n2-n+2,且当n=2时, f(2)=+++.故选C. 5.用数学归纳法证明++…+>-.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　.  解析:观察不等式中的分母变化知,++…+++>-. 答案:++…+++>- 6.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是　　　　　. 解析:当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12. 当n=k+1时,左边=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12, 所以左边应添加的式子为(k+1)2+k2. 答案:(k+1)2+k2 能力提升 7.下列四个判断,正确的是(　C　) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1 B.式子1+k+k2+…+(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1+k C.式子1+++…+(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1++ D.设f(n)=++…+(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+++ 解析:A中,n=1时,式子=1+k;B中,n=1时,式子=1;C中,n=1时,式子= 1++;D中,f(k+1)=f(k)+++-. 故选C. 8.(多选题)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n,k∈N+)都成立,则以下满足条件的k的值为(　CD　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:根据题意,对于>,即1->1-, 则有2n+1>2n+2, 即2n>2n+1, 又由n∈N+,则有n≥3, 即n≥3时,>成立. 若数学归纳法证明>对任意n≥k(n,k∈N+)都成立,必有k≥3. 故选CD. 9.用数学归纳法证明“1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N+)”时,假设当n=k时命题成立,则当 n=k+1时,左端增加的项数是　　　　.  答案:2k 10.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,(n2-1)+2(n2-22)+…+ n(n2-n2)=. 证明:(1)当n=1时,左边=12-1=0,右边==0,所以等式成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立, 即(k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=. 那么当n=k+1时, 有[(k+1)2-1]+2[(k+1)2-22]+…+k·[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]= (k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)·(1+2+…+k)=+ (2k+1)=k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)]=k(k+1)(k2+3k+2)= . 所以当n=k+1时等式成立. 由(1)(2)知,对任意n∈N+等式成立. 11.用数学归纳法证明:+++…+<1-(n≥2,n∈N+). 证明:(1)当n=2时,左边==, 右边=1-=. 因为<,所以不等式成立. (2