18.2.5 垂美四边形-【高分突破系列】2022-2023学年八年级数学下册同步知识点剖析精品讲义（人教版）

令学利网 李科网原创，让学司更客品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 18.2.5垂美四边形 知识剖析 垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。 垂美四边形的性质：①S垂美四边形ABCD=号AC~BD②AB2+DC2=ADP+BC2 证明：1)S垂美四边形ABCD-S△ABC+S△ADC AC~BP+吉AC~DP=专AC·(BP+DP)=吉AC~BD 结论：垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。 2)AB2=AP2+BP2 CD2-PD2+PC2 ..AB2+CD2=AP2+BP2+PD2+PC2 AD2-AP2+DP2 BC2-BP2+PC2 ..AD2+BC2=AP2+BP2+PD2+PC2 ∴.AB2+DC2=AD2+BC2 经典例题 1.(★)(2022秋福建宁德八年级校考阶段练习)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图 所示的“垂美"四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=5,则AB2+CD2=一 D 2.(★★)(2022春，山东聊城八年级校考期中)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. G 图1 图2 图3 (1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明 理由； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)性质探究：经探究发现，垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间有这样的数量关系：AB +CD2=AD2+BC2,请写出证明过程；（先画出图形，写出己知，求证） (3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE, 连接CE,BG和GE.已知AC=4,AB=5,求GE长. 3,(★★)(2023春全国·八年级专题练习)如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形. E 图1 图2 (1)概念理解：在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 ①平行四边形：②矩形；③菱形：④AB=AD,CB=CD. (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图1，在四边形ABCD中，若AC ⊥BD,则AB2+CD2=AD+BC2.请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由. (3)问题解决：如图2，在△ABC中，BC-3,AC=4,D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD.有AE⊥ BD,求AB 4.(★◆)(2022秋，全国·八年级期中)我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE=EC,AE=ED,∠BEC=∠AED=9O°，对角线AC与BD交于 O点，BD与EC交于点F,AC与ED交于点G. (1)求证：四边形ABCD是垂美四边形： (2)猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由： (3)若BE=3,AE=4,AB=6,则CD的长为一 5.(★★★)(2021春，湖北武汉，八年级统考期中)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做"垂美四边形”， 2 ,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利四 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (1)性质探究：如图1.已知四边形ABCD中，AC⊥BD.垂足为O,求证：AB2+CD2=AD2+BC2; C2)解决间题：已知AB=5,巨，BC=4E,分别以△4BC的边BC和AB向外作等腰R△BCE和等腰R △ABD; ①如图2，当∠ACB=90°，连接DE,求DE的长； ②如图3.当∠ACB≠90，点G、H分别是AD、AC中点，连接G.若GH=26,则SMBC= D B G 图1 图2 图3 6.(★★★)(2018江苏校考一模)小明学习了特殊的四边形平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了 兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。 (1)概念理在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 (2)性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系. (3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连 接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5 ①求证：四边形BCGE为垂美四边形： ②直接写出四边形BCGE的面积， B D A 图1 图2 7.(★★)(2023春全国·八年级专题练习)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 李