18.2.3.1 与正方形有关的半角模型-【高分突破系列】2022-2023学年八年级数学下册同步知识点剖析精品讲义（人教版）

学科问原创，让学习更容易！ p。zx K.cOM学科网精品频道全力推荐 18.2.3.1与正方形有关的半角模型 知识剖析 已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点o、P，则 ①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C_Δcr=2倍正方形边长A—D ④s_ΔAE+SΔMF=SΔEF．⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）PF ⑥0P2=OB^2+OD^2⑦CE∙CF=2BE·DF B EC ⑧ΔEPC为等腰三角形⑨PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X) 证明： ①思路：延长cD到点M，使DM=BE，连接AM M 先根据已知条件ΔABE≌ΔADM(SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM A、D 而∠BAE+∠FAD=45°，所以∠DAM+∠FAD=45°，可证明ΔAEF≌ΔAMF(SAS)， 由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF ②思路：∵ΔAEF≌ΔAMF(SAS)∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF BⅳE C ∴AF平分∠DFE又∵∠AMF=∠AEB ∴∠AEB=∠AEF∴AE平分∠BEF ③思路：C_ΔcEF=EF+EC+FC=(BE+DF}+FC+FC=(BE+EC)+(DF+FC)=BC+DC=2BC F ④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G B-E-C 根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG 因此可以证明：ΔABE≌ΔAGE(AS)，ΔAGF≌ΔADF(AS) 所以AB=AG=AD，S_ABL=S_ΔAG，S_Ncr=S_Ar ⑥思路：绕点A将ΔAPD逆时针旋转90°得到ΔANB，使AD，AB重合 因为ΔAPD≌ΔANB(AAS)所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN 因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90° 因为∠BAE+∠PAD=45°所以∠NAB+∠BAE=45∘ 则△ANO≌ΔAPO(SAS)所以NO=OP 在RtΔNBO中，由勾股定理可知：ON=OB+NB^2，则OP^2=OB+OD^2 实原创精品资深学科网独家享有版权，侵权必究！ B“EmaC 令学利四 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ⑦思路：假设正方形的边长为m,BE长为a,DF长为b,则EF长为a+b 根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2,则(m-aP+(m-bP=(a+bP 化简得(m-a)(m-b)=2ab所以CECF=2BEDF ⑧思路：根据@证明过程可知△APE为等腰直角三角形，所以AP=PE 再证明△ADPY△CDP(SAS),所以AP=PC, 则PE=PC所以△EPC为等腰三角形 ⑨思路：过点E作EX⊥BD,垂足为点X,过点A作AY⊥BD,垂足为点Y,连接PE 先证明△APY≌△PEX(AAS)("一线三垂直模型")，所以AY=PX :AY=号BD,∴PX=专BD所以BX+DP=PX=专BD 经典例题 1.(★★)(2023春，全国·八年级专题练习)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE ,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连结AG,CF,下列结论：①△ABG≌△AFG: ②BG=CG:③S△4GE=18:④∠GAE=45°，其中正确的是() -D A.①②③ B.②③④ C.③④① D.①②④ 2.(★★)(2023春，全国，八年级专题练习)如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动， 且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N,下列说法中：①BE+DF=EF;②点A到线段EF 的距离一定等于正方形的边长：③BE=2,DF=3,则SMEF=15:④若AB=6巨，BM=3,则AMN=5.其 中结论正确的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 2 ©原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 3.(★★)(2023春·全国八年级专题练习)如图，有一正方形的纸片ABCD,边长为6，点E是DC边上一 点且DC=3DE,把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，延长EF交BC边于点G,连接BF 有以下四个结论： ①∠GAE=45°：②BG+DE=GE: ③点G是BC的中点；④连接FC,则BF⊥FC: 其中正确的结论序号是() G A.①②③④ B.①②③ C.①② D.②③ 4.(★★)(2023春，全国·八年级专题练习)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC,将正方形边CD 沿DE折叠到DF,延长EF交AB