1.4 向量的分解与坐标表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（湘教版）

1.4　向量的分解与坐标表示 1.4.1　向量分解及坐标表示 1.4.2　向量线性运算的坐标表示 [目标导航] 核心知识目标 核心素养目标 1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基的含义. 2.在平面内,当选定一组基后,会用这组基来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 4.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 5.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 6.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 1.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 2.借助平面直角坐标系及平面向量基本定理,学会平面向量的坐标表示,体会数学抽象及直观想象的核心素养. 3.通过平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示及平面向量共线的坐标表示,发展逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识探究·素养启迪 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理:设e1,e2是平面上两个不共线向量,则 ①平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数. ②实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是: 如果v=xe1+ye2=x′e1+y′e2,则x=x′,y=y′. (2)称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的坐标.记为v=(x,y). 2.平面向量的正交分解与坐标表示 (1)正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解. (2)坐标表示:平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基,记作{i,j},显然i=(1,0),j=(0,1). (3)结论:设单位向量e1,e2的夹角<e1,e2>=90°,非零向量v的模|v|=r且<e1,v>= α,则v=(r cos α,r sin α). 3.向量线性运算的坐标表示 (1)向量加法、减法运算的坐标表示:两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差),即a±b=(x1,y1)±(x2,y2)= (x1±x2,y1±y2). (2)向量数乘的坐标表示:一个实数λ与向量a=(x,y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标,即λa=λ(x,y)=(λx,λy). B 1.下列说法正确的是(　 　) A.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 B.若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量 C.若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d D.若一组向量中含有零向量,则该组向量也可以作为平面内的基向量 解析:A.根据基的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基,错误; B.正确. C.错误.当e1与e2共线时,结论不一定成立. D.由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为平面内的基向量,结论错误.故选B. AB 3.已知P(2,6),Q(-4,0),则PQ的中点坐标为　　　　　　　.  解析:根据中点坐标公式可得,PQ的中点坐标为(-1,3). 答案:(-1,3) 答案:(4,6) 课堂探究·素养培育 [例1] 设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点,下列向量组中可作为这个平行四边形所在的平面的基的是(　　) 对平面向量基本定理的理解 解析:①③中的向量不共线,可以作为基,②④中的向量共线,不能作基.故 选B. 对基的理解 两个向量能否作为一组基,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作 基,若不共线,则可作基. [即时训练1-1] 设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量: ①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2. 其中,不能作为平面内所有向量的一组基的是　　　(写出满足条件的序号). 答案:③ 用基表示向量 用基表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基表示向量的唯一性求解. 平面向量的坐标运算 解:由已知得a=(5,-5), b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量