3.4 复数的三角表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（湘教版）

导 C03人 *3.4复数的三角表示 [目标导航] 知识探究素养启迪 知识探究 1.i2=-1的几何意义 虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转90°， 2.旋转任意角 用cosa+isin a乘任意复数z,其几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角a. 3.复数的三角表示 (1)辐角：如图，将任意复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内用对应的向量 表示，则川 r= OP OP 将圣轴的正半轴为始边，以OP为终边的角0，称为复数za+bi的辐角，记作arg云0. 若0是z的一个辐角，则z的全部辐角argz=0+2kπ(k∈Z）.b (2)三角形式：a+bi=r(cos0+isin0). 其中r= cos 0=,sin 0=, 2 2 a b 将r(coai退in0)称为复数abf的三角形式. (3)两个复数z1=|z1|(cos01+isin0),z2|z2|(cos02+isin02)相等的 充分必要条件是|z1=|z2=0,或|z1=|z2>0且020+2kr,k∈Z, 4.复数三角形式运算 (1)复数z1=r1(cos01+isin01)与z2=r2(cos02+isin02)的乘法公式 z1z2rr2[cos(01+02)+isin(01+02)] (2)棣莫弗公式：[r(cos0+isin0)]n=rn(cosn0+isin n0),其中n∈N+. (3)两个复数z1,z2(z2≠0)的除法公式： )-[cos(0-0)+isin(0-0)] 劲？Es脱sih脱 ②公小试身手 1.复数1+i化成三角形式，正确的是(B) A.2(cos tisin - B.2(cos -+isin - 2π T π C.2(cos tisin 3) D.2(cos 3+isin 一） 5 5 16π 解析：r=2,cos日=-，复数对应的点在第一象限，所以arg(1+i)=-,所以 1+3i=2(cos量isn.故选B. π 飞3 3 2.复数1-i的一个辐角是(A) A.- ξ38.- C.- D.- 即 红 5 乎 解析：因为1-i=2(-一i)=2(cos一+isin一)，所以1-i的一个辐角为一 153 5π 5n 5π 故选A. 53 22 3 3 ξ3 3 3.将复数1+i对应的向量 绕点0按逆时针方向旋转，得到的向量为，那 π 么 对应的复数是 0M. (用代数形式表示) 4 0M1 解析： 对应的复数是(1+i)(cos-t+isin-)=一(1+i)2=i. 答案：04 车 事2 E2 2 4.计算3(cos-+isin-)X4(cos-+isin-)=. π π π 解析：3(cos3+isin马×4(cos Srisin与 =12[cosisin=12i 答案：12i 课堂探究素养培育