3.2 复数的四则运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（湘教版）

3.2　复数的四则运算 [目标导航] 核心知识目标 核心素养目标 1.熟练掌握复数的加减法运算法则. 2.掌握复数的乘、除运算. 3.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 1.通过复数的代数形式的加、减运算法则和运算律的学习与应用,发展数学抽象及数学运算的核心素养. 2.通过复数代数形式的乘法和除法运算法则、运算律的学习与应用,培养数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识探究·素养启迪 1.复数的加减法 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) 是任意两个复数 运算 法则 加法 减法 z1+z2=(a+c)+(b+d)i z1-z2= (a-c)+(b-d)i 运算律 交换律 z1+z2=z2+ . 结合律 (z1+z2)+z3=z1+( ) z1 z2+z3 2.复数的乘法与乘方 (1)运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)= . (ac-bd)+(ad+bc)i (2)复数乘法的运算律 对任何复数z1,z2,z3,有 交换律 z1·z2= . 结合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2+z3)= . z2·z1 z1z2+z1z3 (3)复数的乘方运算 ①复数的乘方:复数的乘方运算是指几个相同复数相乘. ③规定i0=1. 特别地,有以下常用结果: i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,其中n∈Z. B 1.已知复数z1=3+4i,复数z2=3-4i,那么z1+z2等于(　 　) A.8i B.6 C.6+8i D.6-8i 解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.故选B. A 2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于(　 　) A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i 解析:z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i.故选A. B D 课堂探究·素养培育 [例1] 计算: (1)(-3+2i)-(4-5i); 复数的加减运算 解:(1)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i. (2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+2i); 解:(2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+2i)=[5+(-2)-3]+[(-6)+(-2)-2]i=-10i. (3)(a+bi)+(2a-3bi)+4i(a,b∈R). 解:(3)(a+bi)+(2a-3bi)+4i=(a+2a)+(b-3b+4)i=3a+(4-2b)i. (1)复数的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项),若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. [即时训练1-1] 计算:(1)(2-3i)+(-4+2i)=　　　　;  解析:(1)原式=(2-4)+(-3+2)i=-2-i. 答案:(1)-2-i (2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.  解析:(2)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. 答案:(2)4+i 复数的乘除运算 探究角度1　复数的乘法运算 [例2] 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i); 解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i. (1)复数乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开;再将i2换成-1;然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); ③(1±i)2=±2i. [即时训练2-1] (1)(2+i)2等于(　　) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 解析:(1)(2+i)2=4-1+4i=3+4i.故选D. 解析:(2)因为(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i为纯虚数,所以2-a=0且1+2a≠0,解得a=2.故选A. 探究角度2　复数的除法运算 [例3] 计算: (1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘适当的非零复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. 答案:-2+i 探究角度3　复数的商与复数有关概念的综合 答案:-6 [变式训练4-1] 若本例中的复数为实数,则a的值为　　　　.  涉及含未知量的复数的商为纯虚数或实数问题,一种方法是利用复数