第9-12章 知识梳理-2022-2023学年高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第二册，江苏专用）

令学利科购 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第9-12章知识梳理 第9章平面向量知识梳理 一、向量的概念及线性运算 1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向向量的 大小就是向量的长度（或称模），记作 (2)零向量：长度为0的向量，记作0， (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量 (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行，记作alb.规定：0与任一向量平行 (⑤)相等向量：长度相篷且方向相同的向量 (⊙相反向量：长度相等且方向相反的向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 C a+b 4 (1)交换律： 三角形法则 a+b=bta 加法 求两个向量和的 运算 B a (2)结合律： b/ath a l (a+b)+c=a+(b+c) A 平行四边形法则 求两个向量差的 b a-b 减法 运算 a-b=a+(-b) 三角形法则 规定实数与向 (1)a=2a: 0u0=24a: 量a的积是一个 (2)当>0时，的方向与a 数乘 向量，这种运算 的方向相同；当1<0时，a (亿+4)a=2a+a 叫做向量的数 的方向与a的方向相反：当入 乘，记作a (a十b)=a+边 =0时，a=0 3.共线向量定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第1页共12页 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使b=a 常用结论： 1中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则=12(+) 2.一=入+4a,为实数)，若点4，B,C共线，则+以=1 3解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向：二是要特别 注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件 二、平面向量基本定律及坐标表示 1平面向量的基本定理 条件 ?,e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数，2，使a=凸十2验 基底 若白，2不共线，我们把，2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解 3.平面向量的坐标运算 ()向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(s,y),b=(x2,2),则 a+b=(仙十x:y+,a-b=s-x,y-2,a=出，出l,a=2121x十y (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 ②设A,),B,2,则=出，边-y,「=x2x1)2+(2v1)2 4平面向量共线的坐标表示 设a=(:,y),b=(c2,2),向量4，bMb0)共线的充要条件是2二x凶=0 常用结论： 1平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然 2.若a与b不共线，a十b=0,则1=以=0 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置， 它们的坐标都是相同的 三、平面向量的数量积及其应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第2页共12页 学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1.平面向量数量积的有关概念 (I)向量的夹角：已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点，作=a,=b,则∠AOB=0s0) 叫做向量a与b的夹角 (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把数量allbcos叫做向量a与b的数 量积（或内积），记作ab,即ab=alblcos2规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0a=0, (3)投影向量 M 如图，在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线，垂足为M, 则就是向量a在向量b上的投影向量 O b M N 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为8，则与e,a,0之间的关系为=alcos6e. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(,1),b=(2,2),为向量a,b的夹角 (I)数量积：ab=lal blcos0=xw+十yy2 (2)模：la=aa=2121xr十y (3)夹角：cos0=abla1b|=21212222x1x2十yly2r十y以re十y以 (4)两非零向量a⊥b的充要条件：ab=0=十=0 (5)ab≤ab(当且仅当ab时等号成立)-k1w2十y2≤2121x十y2222x十y. 3.平面向量数量积的运算律 (I)ab=ba(交换律) (2)ab=(ab)=a(b)(结合律) (3)a十b)c=ac+bc(分