8.1 条件概率（五大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

8.1 条件概率 【题型归纳目录】 题型一：利用定义求条件概率 题型二：条件概率的性质及应用 题型三：全概率公式 题型四：贝叶斯公式 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【知识点梳理】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有 6、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率． 【典型例题】 题型一：利用定义求条件概率 【方法技巧与总结】 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 例1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）在一次春节聚会上，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（    ） A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为 B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为 C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为 D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为 【答案】B 【解析】对于，四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法， 其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种， 故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为，即A错误； 对于B，设小王抽到的是小张写的贺卡为事件，则， 小张抽到小王写的贺卡为事件，则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下， 小张抽到小王写的贺卡的概率为，B正确； 对于，恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为不正确； 对于D，每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种， 故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为错误. 故选：B 例2．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】小明到养老院能选择的最短路径条数为条； 小明到F的最短路径走法有条，再从F到养老院的最短路径有条，小明经过F到养老院能选择的最短路径条数为条， 所以，故（1）正确； 小明从H到养老院的最短路径有条，即， 从H到F的最短路径有条，从F到养老院的最短路径有3条，即，所以，故（2）正确； 又， 所以，故（3）正确． 故选：A. 例3．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件， 由于他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，则小明选择的数是偶数的概率为：. 故选：A． 变式1．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B， 则， ，则. 故选：C 变式2．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯