8.2 离散型随机变量及其分布列（十二大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

8．2 离散型随机变量及其分布列 【题型归纳目录】 题型一：利用定义求离散型随机变量的均值 题型二：离散型随机变量均值的性质 题型三：离散型随机变量均值的应用 题型四：求离散型随机变量的方差 题型五：方差的性质的应用 题型六：均值与方差的综合应用 题型七：n重伯努利试验的判断 题型八：n重伯努利试验概率的求法 题型九：二项分布的均值与方差 题型十：利用超几何分布的公式求概率 题型十一：超几何分布的分布列 题型十二：超几何分布的综合应用 【知识点梳理】 知识点一．离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 知识点二．两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 知识点三．离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 知识点四．离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 知识点五．几个常见的结论 （1）． （2）若服从两点分布，则． 知识点六．次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点七．二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 知识点八．超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【方法技巧与总结】 超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 【典型例题】 题型一：利用定义求离散型随机变量的均值 【方法技巧与总结】 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P（X＝k）；（3）写出分布列；（4）利用E（X）的计算公式计算E（X）． 例1．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点个数，错误的是（    ） A．该游客至多游览一个景点的概率为 B． C． D． 【答案】C 【解析】的所有可能取值为0，1，2，3，4． 则， ， 所以该游客至多游览一个景点的概率为，故A正确． ，故B正确．