预测卷02-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训（全国通用）

预测卷02 理科 （满分：70分 建议用时：70 分钟） 1. 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （1） 必考题：共60分． 17．已知数列的前项的积记为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 18．如图，在梯形中，，，现将沿翻折成直二面角. (1)证明：； (2)若，二面角余弦值为，求异面直线与所成角的余弦值. 19．“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为. (1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望； (2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到阶的概率为，求. 20．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究在轴上是否存在异于的定点，使得轴为的角平分线，若存在，请求出点坐标； 若不存在，请说明理由. 21．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，，，求证：. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程； (2)已知是曲线上的两个动点（异于原点），且，若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的值. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若的最小值为m，，且满足，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $ 预测卷02 理科 （满分：70分 建议用时：70分钟） 1. 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 1. 必考题：共60分． 17．已知数列的前项的积记为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）将条件中的变为，然后整理即可证明； （2）求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，， ，即， 又当时，，得， 数列是以3为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）得， 则， . 18．如图，在梯形中，，，现将沿翻折成直二面角. (1)证明：； (2)若，二面角余弦值为，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取AB的中点E，连接CE，证明，由平面平面，得平面PAC，可证； （2）取的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，设，由二面角余弦值为，利用向量法求的值，再由向量法求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）取AB的中点E，连接CE， ∵ ，，， ∴四边形ADCE是平行四边形，，， ∴，即 平面平面，且两平面的交线为AC，∴平面PAC， 又平面PAC，∴. （2）由知，取的中点，则． ∴，且，两两互相垂直. 以O为原点， 的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，则，，， ， ，， 易得平面PAC的一个法向量为 ， 设平面PAB的一个法向量为， 由，取，得，， 故， 由，知 ， 则，， 设异面直线PC与AB所成角为， 则， 所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为. 19．“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛