7.1.1 条件概率-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.1条件概率 ● 问题导入 在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发 生（积事件AB)的概率的问题.当事件A与B相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B).如果 事件A与B不相互独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手. 问题导入 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示. 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一个做代表 (1)选到男生的概率是多少？ (2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？ 随机选择一人做代表，则样本空间2包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到 团员”，B表示事件“选到男生”，根据表中的数据可以得出，n(2)=45,n(A)= 30,n(B)=25. 新知探索 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 (1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率P(B)= n(B) = n(2) 5- 45- (2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为P(BA).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而 在新的样本空间中事件B就是积事件AB,包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型 的知识可知，P(B引A)=4= 8 n(A) 30-15 新知探索 问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭随机选择一个 家庭，那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间 2={bb,bg,gb,gg},且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中 有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则A={bg,gb,9g}, B={gg). (1)根据古典概型的知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率P(B)= 2=1 n(2 新知探索 (2)如果己经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间 2=bb,bg,gb,gg},且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中 有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则A={bg,gb,gg}, B=(gg). (2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个女孩都是女孩”的概率就是“在事件A发 生的条件下，事件发生B”的概率，记为P(BA).此时A成为样本空间，事件B就是 积事件AB,根据古典概型知识可知，P(BA)=得= n(A) 新知探索 在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是P(BA)= n(AB) n(A) 这个结论对于一般的古典概型仍然成立.事实上，如图所示，若己知事件A发生， 则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点 数的比值，即P(BA)=CA n(A) n(AB) 因为P(B|A)= n(AB) n(2) P(AB) 所以，在事件A n(A) n(A) P(A) B n(2) 发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过得来计算。 新知探索 般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>O,我们称P(BA)= PA为在事 P(A) 件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率 问题3：在问题1和问题2中，都有P(BA)≠P(B).一般地，P(BA)与P(B)不一定相 等.如果P(B引A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？ 直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率， 这等价于P(BA)=P(B)成立. 新知探索 事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>O,则 P(BIA)= P(AB)= P(A)P(B) P(A) P(A) P(B): 反之，若P(BA)=P(B,且P)>0,则P(B)= P(A 2→P(AB)=P(A)P(B), 即事件A与B相互独立， 因此，当P(A)>O时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(BA)=P(B). 新知探索 思考1：对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(BA),如何计算P(AB)呢？ 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>O,则 P(AB)=P(A)P(B1A).我们称上式为概率的乘法公式.