6.4.3解三角形应用举例理 同步复习讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 07 解三角形应用举例 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 实际问题中的常用角 名称 意义 图形表示 仰角 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中， 目标视线在水平视线上方的叫做仰角， 目标视线在水平视线下方的叫做俯角． 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角． 方位角θ的范围是0°≤θ<360°． 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角， 通常表达为北(南)偏东(西)α． 北偏东α 南偏西α 坡角 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)， 即i＝＝tan θ． 注意：（1）仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的； （2）“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是． 知识链接02 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； （2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果； （3）有时需设未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 知识链接03 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 实际生活中的距离、高度、角度测量问题 （1）如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为 ． （2）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　) （3）如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝ ． （4）国庆阅兵上举行升国旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为24.5 m，如图所示，则旗杆的高度为 ． （5）如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为 m. （6）如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是 ． 　　 （7）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝ ． （8）已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以 的速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ （9）如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°， 在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°， A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝ m． （10）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m． 典例剖析02 正、余弦定理在平面几何中的应用 （1）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1． （ⅰ）若AB＝，求BC； （ⅱ）若AB＝2BC，求cos∠BDC． （2）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC． （ⅰ）求sin∠ABD的值； （ⅱ）若∠BCD＝，求CD的长． （3）如图，在中，，， ，为内一点，． （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，求