6.4.3正弦定理和余弦定理 同步复习讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 06 正弦定理和余弦定理 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(R为三角形的外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 （1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； （2）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （3）＝2R； （4）asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝． 知识链接02 三角形的面积公式 （1）S△ABC＝aha(ha为边a上的高)． （1）S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsinB＝．(R为三角形的外接圆半径) （1）S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 知识链接03 常用结论 （1）三角形中的三角函数关系 ①A＋B＋C＝π； ②sin(A＋B)＝sin C； cos(A＋B)＝－cos C； ③)sin＝cos； cos＝sin ； ④tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tanB·tan C． （2）在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B． （3）在锐角△ABC中，sin A>cos B，sin B>cos C，sin C>cos A． （4）射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． （5）在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 利用正、余弦定理解三角形 （1）在△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于 ． （2）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝ ． （3）在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝ ． （4）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B等于 ． （5）在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于 ． （6）在△ABC中，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝ ． （7）在△ABC中，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝ ． （8）在△ABC中，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(a－c)sin C，b＝2，则△ABC的外接圆直径为 ． （9）(多选)在△ABC中，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° （10）在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC， sin A＝sin B，C＝，且 ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 典例剖析02 利用正、余弦定理判定三角形的形状 （1）在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ． （2）在△ABC中，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为 ． （3）在△ABC中，cos2＝，则△ABC的形状为 ． （4）(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　) A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形 B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D．若＝＝，则△ABC是等边三角形 （5）在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程． 典例剖析03 利用正、余弦定理处理与三角形的周长、面积相关问题 （1）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ． （2）在△ABC中，b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积