专题19 菱形中的最值-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题19 菱形中的最值 1．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）在菱形中，，，在边上，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，作于由、关于对称，推出，推出，根据垂线段最短可知，当、、共线，且与重合时，的值最小，最小值为的长． 【详解】解：连接、，作于． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， 、关于对称， ， ， 根据垂线段最短可知，当、、共线，且与重合时，的值最小，最小值为的长， 在中，，， ∴ ∴, ∴， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题、菱形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用垂线段最短解决最短问题． 2．（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）如图，菱形ABCD中∠ABC＝60°，ΔABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的个数是（   ） ①△AMB ≌△ENB；②若菱形ABCD的边长为2，则AM＋CM的最小值2；③连接AN，则AN⊥BE；④当AM＋BM＋CM的最小值为时，菱形ABCD的面积也为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据菱形的性质，运用“SAS”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线BD对称，可知AM+CM最小为AC长；③先假设AN⊥BE，而后逆推即可判断；④根据图形特征得出当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC，交CB的延长线于F，在Rt△EFC中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④． 【详解】解①∵△ABE是等边三角形， ∴BA=BE，∠ABE=60°． ∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE． 又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS），故①正确； ②连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，BD⊥AC，AO=CO． ∴点A和点C关于直线BD对称， ∴当M点与O点重合时，AM+CM的值最小为AC的值． ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=2． 即AM+CM的值最小为2，故②正确； ③假设AN⊥BE，且AE=AB， ∴AN是BE的垂直平分线， ∴EN=BN=BM=MA， ∴M点与O点重合， ∵条件没有确定M点与O点重合，故③错误； ④如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短， ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长． 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF=180°﹣120°=60°， 设菱形的边长为x，∴BF=，EF=， 在Rt△EFC中，∵， ∴， 解得x=2， ， ∴菱形的面积为， 故④不正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键． 3．（2021春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =AF，求出AF的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB= BC= 2， ∵ G， H分别为AE，EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴GH =AF， ∴当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°， ∵∠B= 45°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴GH =， 即GH的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 4．（2021春·浙江杭州·八年级校联考期末）已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　） ①S四边形OMFN＝cm2； ②MN的长度为定值； ③△OMN的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】连接OF，