第04讲 特殊平行四边形（3知识点+12大考点+拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第04讲 特殊平行四边形 （3知识点+12大考点+拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 矩形的判定与性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点】对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角. 2.矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 3.矩形的对称轴 1）矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是经过对边中点的直线； 3）过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分. 4.矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 矩形判定思路： 知识点 2 菱形的判定与性质 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等. 2.菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 3.菱形的对称性 1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 4. 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 知识点 3 正方形的判定与性质 1.正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.正方形的性质： 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 3.正方形的对称性： 1）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2）正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 4.正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 考点一：矩形的判定 例1．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】观察题目，本题主要考查矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键； 对于①，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断即可； 对于②，根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”判断即可； 对于其余的条件，结合矩形的判定定理以及平行四边形的性质判断即可． 【详解】①当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故①正确； ②当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故②错误； ③当时， ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形，故③正确； ④当时， ． ∵，四边形为平行四边形， ∴，四边形是矩形， 故④正确． 综上可得平行四边形是矩形的条件的序号是①③④． 故选：D 【变式1-1】如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， A.∵，， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； D.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形． 【答案】（或）（答案不唯一，正确即可） 【分析】此题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定定理是解答此题的关键． 根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：若使变为矩形，可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形） 等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：或． 【变式1-3】如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理： （1）利用平行四边形的性质和平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形； （2）利用勾股定理求得的长度，从而利用矩形和平行四边形的性质求出的长度，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：在中，， 在平行四边形中，， 在矩形中，， ∴四边形的面积． 【变式1-4】如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，求出，，根据平行四边形的判定得出即可； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，根据矩形的判定得出即可． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 由（1）知：四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 考点二：矩形的性质 例2．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分，点G是的中点， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C 【变式2-2】如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，，则所求的最小值即为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，， ∴，， 过点作的垂线，交的延长线于点H，则四边形为矩形， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式2-3】如图，点E为边上的一点，连接并延长与的延长线交于F，若点 C是边的中点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先由的性质结合C是边的中点证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一得到，即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， 又∵C是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：在矩形中，， ∴， ． 【变式2-4】如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，以为边作矩形 (点、在的同侧)，且，连接． (1)如图1，当点在的中点时，点、、在同一直线上，求的长； (2)如图2，当时，求证：线段被平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和点是的中点，可得，，，证明，得到，由，可得，即可求解； （2）设与交于点，过作于，根据矩形的性质可得，，由，可推出，证明，得到，推出，结合，推出，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点是的中点， ，，， ， ， ， ， ； （2）如图，设与交于点，过作于， 在矩形中，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 线段被平分． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 考点三：利用矩形的性质证明 例3．如图，在长方形中，，对角线，平分交于点E，是线段上的点，连接，过点C作交的延长线于点P，当为等腰三角形时，（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到的长，求得，过Q作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到问题答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过Q作于H，    ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解题的关键． 【变式3-1】如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得的长，即得答案． 【详解】设边上的高是h， ， ， ， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离， 在中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到的长就是所求的最短距离是解题的关键． 【变式3-2】如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【变式3-3】如图，矩形ABCD中，的平分线交于E，交的延长线于F，G是的中点，连接，若，则 ．    【答案】 【分析】证明，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，进一步证得是等腰直角三角形，设，求出，得到，过点G作于点M，进一步求出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵G是的中点， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴可设 ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作于点M，    ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，分别求出，是解题的关键． 【变式3-4】八年级教材下册5．1《矩形》的作业题中有如下题目： 利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 小嵊同学将该问题输入，给出如下分析： 已知：如图1，在中，，D为斜边的中点． 求证：． 证明思路： 延长至点E，使，连接，，证明构造的四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论． (1)请根据提供的思路完成证明； (2)好学的小州同学展开了探索：在中，，延长至点E． ①如图2，若，D为边的中点，连接，，求的度数； ②如图3，若，，点F是边中点，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）如图，延长至点E，使，连接，，证明四边形为平行四边形，，可得四边形为矩形，再利用矩形的性质证明即可； （2）①如图，连接，证明，可得，，可得，再结合三角形的外角的性质可得答案； ②如图，取的中点，则，证明是的垂直平分线，是的中位线，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使，连接，， ∵D为斜边的中点． ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接， ∵D为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②如图，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵点F是边中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的直线，线段的垂直平分线的性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练的利用直角三角形斜边上的直线的性质解题是关键． 考点四：矩形与折叠问题 例4．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据折叠和平行线的性质得到，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】设，则 由折叠可知 因为 所以，则 所以 在中，根据勾股定理可得， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等角对等边等知识，解题的关键是证明出． 【变式4-1】如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（   ） A．9 B．12 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据矩形到现在得到，，，由折叠的性质可得出，，，由，得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可得出，，， ， ，， ， ， ， ， ， 点D的纵坐标为15． 故选：D． 【变式4-2】在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为（　　） A．18 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．连接，作于，由翻折及矩形的性质得，，，，证明，由勾股定理建立方程可分别求出，的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：连接，作于， 在矩形中，，，， 四边形、都是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，点为边的中点， ，，， ∵点为线段的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ， ， 在中，， ∵， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， 故选：C． 【变式4-3】如图，在矩形中，，为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若、分别为、的中点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是利用三角形中位线将所求的转化为． 连接，由F、G分别为、的中点可得，在中有，由勾股定理可得，由折叠性质和矩形性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵F、G分别为、的中点， ∴， 当的最小时，即最小， ∵四边形矩形，， ∴， ∴， ∵沿折叠， ∴， 在中有， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 【变式4-4】如图．将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的折叠、勾股定理，等腰三角形的性质和判定，熟记矩形的性质并根据勾股定理列方程求解是解题关键． （1）利用折叠的性质及等角对等边解决问题即可． （2）设，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 由折叠可知，， ∵在长方形中，， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， ∴； 考点五：菱形的判定 例5．如图，的对角线、相交于点O，添加一个条件，使得是菱形，则下列选项不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，根据菱形的判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A．添加后，可证明是矩形，不能证明它是菱形； B．添加后，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证明是菱形； C．添加后，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证明是菱形； D．添加后，根据“对角线平分一组对角的平行四边形是菱形”可证明是菱形． 故选：A． 【变式5-1】如图，点E，F分别在的边上，，增加下列其中一个条件：①；②；③；能使四边形是菱形的条件个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由菱形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质分别对各个条件进行判断即可； 【详解】①四边形是平行四边形 在和中 故四边形为菱形     ②四边形是平行四边形 在和中 故四边形为菱形     ③由，，不能判定 ∴不能得出 ∴不能使为菱形 综上所述，能使四边形是菱形的条件个数为2个 故选 C 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、 全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键 【变式5-2】如图，在中，，，分别是，边上的中点，于点D，过点E作交于点G，连结，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，菱形的判定与性质，连接交于点，先证明四边形是平行四边形，再证明是菱形，可得，，由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：连接交于点，如图， ， ∵分别是，边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴，且，， 在中，， ∴， 故答案为：4． 【变式5-3】如图，已知矩形，连结． (1)用无刻度直尺和圆规在线段，上分别作点，（保留作图痕迹），连结，，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）本题要求用无刻度直尺和圆规在矩形的边、上作出点、，使四边形是菱形．关键在于利用菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，所以可通过作的垂直平分线来确定点、的位置． （2）首先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，再根据菱形的性质设未知数，通过在直角三角形中运用勾股定理建立方程求出菱形的边长，最后利用菱形面积的两种不同表示方法建立等式求出的长． 【详解】（1）解：连接．分别以、为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径需相等），两弧分别相交于两点，过这两点作直线，该直线与、分别交于点、，则四边形是菱形． 证明：由作图可得所作直线是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：在矩形中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴设，则． 在中，， ∴， 解得． ∵菱形的面积， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算．解题的关键在于要理解并运用菱形对角线的性质来进行尺规作图及利用矩形性质和勾股定理求出对角线长度． 【变式5-4】如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出，进而利用菱形面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， 由勾股定理可知，， 由（1），可得， ， 在中，， ， ， ． 考点六：菱形的性质 例6．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-1】如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键． 先证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点O为菱形对角线的交点， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式6-2】如图，四边形是菱形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得：，推出；结合，推出，即可求证； （2）由题意得平分，，推出；根据是等腰三角形推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵是等腰三角形； ∴， ∴． 【变式6-3】如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，，可得四边形是平行四边形，由菱形的性质可得，据此即可求证； （2）利用菱形和矩形的性质可得，，进而证明可得即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式6-4】如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ∴ ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ． 考点七：利用菱形的性质证明 例7．老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． (1)请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． (2)连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 【答案】(1)正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据作图可证明四边形是菱形，则； （2）根据菱形得到对角线互相垂直，对角线互相平分，由勾股定理求出，即可得到，设点P到直线的距离为，然后由面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：小亮的作法正确，理由如下： 连接， 由题意可得：， ∴四边形是菱形， ∴； （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P到直线的距离为， 则， ∴， ∴点P到直线的距离为． 【变式7-1】尺规作图问题：如图1，菱形，点是边上一点（不包含），连接．用尺规在边上找到点，连结，使． 小明：如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． (1)如图2，请你证明小明的作法是正确的． (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见解析 (2)小丽的作法不正确，存在的问题见解析 【分析】（1）连接．证明．得到，从而可证明是等边三角形，即可得出结论． （2）根据以点为圆心，长为半径作弧，与菱形的边交于点，此时与菱形的边一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，即可作出判断． 【详解】（1）证明：如图，连接． 菱形 ∴ ， ∴ ∴． ， ． ． ， ． 是等边三角形． ． （2）解：不正确． 理由如下：如图， 以点为圆心，长为半径作弧， 与菱形的边交于点，此时与菱形的边一般会有两个交点， 只有其中一个点符合要求，所以小丽的作法不正确． 【点睛】本题考查菱形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-2】如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． （1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明； （2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵在菱形中，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：∵在菱形中，， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 是斜边上的中线， ． 【变式7-3】如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．解题的关键是菱形的对角线互相垂直平分、矩形的对角线相等的性质． （1）通过证明四边形是矩形来推知； （2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ； （2）解：四边形是菱形， ， 由（1）知，，， 在中，由勾股定理得， ，． 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【变式7-4】菱形的边长为，，点是对角线中点，是线段上任一点，连接，作，边与直线相交于点． 小南和小浦观察以上问题时，猜想，老师引导他们用“从特殊到一般”的思想方法去尝试研究． 【特例发现】 小南发现：当点与点______重合时，与的长度相等，为______； 【探究证明】 小浦认为当在线段上时，均有“”，请帮助完成证明． 【拓展运用】 连结交于点，求证：为定值． 当时，______． 【答案】特例发现：， 探究证明：详见解析 拓展运用：详见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，等边三角形性质和判定，角平分线性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识， 特例发现：根据菱形和等边三角形的性质即可解题； 探究证明：过点作于点，于点，根据菱形的性质和角平分线性质易得，，从而证得，得出； 拓展运用：根据“探究证明”即可得出，从而证得为定值；将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，连接交于点．利用勾股定理和旋转的旋转得到是等边三角形，进而证明，得到，进而推出，设，则，利用边长建立等式求解，即可得到，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】特例发现 解：如图中，当点与重合时，是等边三角形，此时． 故答案为：，； 探究证明 证明：如图中，过点作于点，于点． 四边形是菱形， 平分，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 拓展运用 证明：如图中， ，， ， ， 定值． 解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，连接交于点． ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 故答案为：． 考点八：菱形的面积计算 例8．如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（   ） A．16 B．32 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式等知识，根据菱形的周长求出菱形的边长，再根据三角形面积公式求出的面积，即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为32， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-1】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ） A．24 B．36 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键． 由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 故选：A． 【变式8-2】已知菱形一组对角的和为，较短的一条对角线的长度为4，那么这个菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】先画出图形，根据已知条件得出，，根据菱形的性质得出，，，，，证明是等边三角形，得出，根据勾股定理得出，根据，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查菱形的性质及三角形的面积计算，根据同高三角形的底之比等于面积之比计算出空白部分三角形面积是解题的关键．连接，因为是的中点，所以，，根据，可得，故，故． 【详解】解：连接， 是的中点， ， 连接， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 【变式8-4】如图，矩形的对角线，相交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． （1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点九：正方形的判定 例9．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意； 若平分，， ∵， ∴， ∴， 则四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意； 若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式9-1】如图，已知点，点在轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，，且．则的值为 ． 【答案】4 【分析】过点作轴于，轴于，先判断出四边形为正方形，得出，，进而判断出，得出，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【变式9-2】已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为点，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，要证四边形是正方形，则要先证明四边形是矩形，根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据已知由角平分线的点到角两边距离相等可得，由一组邻边相等的矩形是正方形即可得出结论． 【详解】证明：∵平分，，， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． 【变式9-3】如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． 为边上的中点， ， ，， 四边形是平行四边形． 为边上的中点，， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是正方形， 理由：，， 是等腰直角三角形． 为边AB上的中点． ． 由（1），可知四边形是矩形， 四边形是正方形． 【变式9-4】如图，在矩形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，已知，．    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，根据一组邻边相等的矩形为正方形，即可得出结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，． ， ， ， ， ， ． 矩形是正方形． （2）解：，， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定，得出． 考点十：正方形的性质 例10．如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵矩形的周长已知，设为， ∴， 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选：A 【变式10-1】在正方形中，是对角线上一动点，作于点，于点．若四边形的面积为6，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，连接，，由正方形的性质得出，得出，由矩形的性质得出，进而得出，利用，，求出，继而得出．熟练掌握上述知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形，， ，，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 矩形的面积， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 故选：C． 【变式10-2】如图，已知正方形 边长为 2，点 ， 分别在边 ， 上，将正方形沿着 翻折，点 恰好落在 边上的点 处． 如果四边形 与四边形 的面积比为 ，那么线段 的长为 ． 【答案】/1.25/ 【分析】连接，过点作于点，根据题意可得四边形为矩形，，设，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可获得答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵四边形为正方形，且边长为2，四边形 与四边形的面积比为， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，可有， 即 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式10-3】如图，正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正方形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由勾股定理求出，可得为直角三角形，再勾股定理即可求解； （2）根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形和正方形， ∴，，，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴． 【变式10-4】如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． (1)　　（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图（2），在中，，高，，求的长度． 【答案】(1) (2)①见解析；②的长为 (3) 【分析】（1）根据平角的定义得出，由角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理即可得解； （2）①作于，先证明四边形为矩形，再由角平分线的性质定理得出，即可得证；②设，由正方形的性质得出，证明，得出，同理可得：，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，设，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：作于， ， 则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，外角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形； ②设， ∵， ∴， 由①得四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； （3）解：如图，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， ， 由（1）（2）得：四边形是正方形，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题关键． 考点十一：利用正方形的性质证明 例11．如图，在中，，分别以为边作正方形和正方形，使点分别落在的延长线上，连接交于点H．求的长，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的判定与性质，如图，延长交于，设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，进一步利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， 设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式11-1】如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 【答案】A 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点，于点，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：A． 【变式11-2】如图，为正方形内的一点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握正方形的性质，勾股定理以及矩形的判定和性质是正确解答的关键．过点作于,作于点,是矩形，然后根据勾股定理得到，然后利用面积得到长，然后再利用勾股定理求出长，再利用勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作于,作于点， 则是矩形， ∴， 在 中, ， ， ∵， ， ， ∴，， ， ． 故答案为：． 【变式11-3】如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 根据两点之间线段最短知，、、三点共线时，线段的值最小，最小值为； 线段长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 【变式11-4】如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形性质得，，再根据，得，证明，进而可依据“”判定； （2）根据和全等得，，然后再根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质还解决问题的关键． 考点十二：中点四边形 例12．如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是D， 故选：D． 【变式12-1】如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点． 则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是菱形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查中点四边形，涉及菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形的中位线性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐个判断即可求解． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，故②错误； ③若四边形是菱形，则， ∴，但与不一定互相平分，故③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，， 即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个， 故选：A． 【变式12-2】定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可． 【详解】解：连接，，交于点M， ∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，， ∴，同理：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 【变式12-3】如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用菱形性质以及勾股定理得到，即，结合，推出，再根据中点四边形的知识证明四边形为矩形，根据矩形面积公式即可求解． 【详解】解：设菱形的对角线的交点为O， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别为边中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，中点四边形的知识，完全平方公式的变形，证明四边形为矩形是解题的关键． 【变式12-4】已知四边形， (1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图（2），若于，，，求的值． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)52 【分析】本题考查的是中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下：点、、、分别为、、、的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ． 拓展训练一：特殊平行四边形的判定与性质综合 1．已知在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，过点B作，交于点H，G．求证：． (3)如图3，在（2）条件下，连接，求证：四边形是菱形． (4)如图4，在（2）、（3）条件下，作平分，交于点M，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)；理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得，再根据对称可得，然后根据勾股定理求得，最后根据得出答案； （2）根据可得，再根据平行线的性质可得，即可证明，则答案可证； （3）先根据平行线的性质得，再根据全等三角形的性质得，再根据“等角对等边”得，进而得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，最后结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （4）连接,先根据“边角边”证明，可得，进而得出，根据勾股定理得，，则答案可证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵与关于直线对称， ∴． 根据勾股定理，得， ∴； （2）证明：由题意得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （4）解：线段之间的数量关系为； 连接，如图3所示： ∵平分， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴线段之间的数量关系为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法． 2．如图1，在四边形中，，的平分线交于点，交直线于点，下面是两位同学的对话． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明（选小波得4分，选小杭得2分）； (2)如图2，若，四边形是菱形，分别连结，，求的度数． 【答案】(1)选小波，证明见解析（答案不唯一） (2) 【分析】（1）选小波，证明得出，进而可证四边形为平行四边形； 选小杭，证明，得出，进而可证四边形为平行四边形； （2）分别连接，，由菱形和平行四边形的性质证明是等边三角形得，，根据证明，结合全等三角形的性质得出是等边三角形，即可求得的度数． 【详解】（1）选小波，证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 选小杭，证明：∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）如图，分别连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 3．如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理，矩形的判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，再由三角形中线的定义得到，则可根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论； （2）连接交于H，可证明四边形是平行四边形，得到，则，进而证明，得到，则可证明，进而可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， 又， ， ， 又是的中线， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）证明：如图所示，连接交于H， 由（1）可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 4．如图，在边长为 6 的正方形 中， ， 两点分别为线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值，并写出解答过程． 【答案】9 【分析】先推出当点、、在同一直线上时值最小，求出即可． 【详解】如图，分别取，中点E、F，连接，以为边构造，连接，， ∵点E、F分别是，中点，， ， ∴， 当点O、M、P在同一直线上时值最小， ∴最小值为， ∵四边形为边长为6的正方形， ∴，且， ∴， 在中，， 在中，， 则的最小值为9． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查正方形的性质、平移的性质、勾股定理的应用，熟练掌握相关性质是解题关键． 5．如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点E的坐标； (2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，周长的最小值为8 (3)存在，或 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，可得，由直角三角形的性质可求解； （2）过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，即的周长最小值为，由直角三角形的性质可求，的长，可求点，点坐标，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：点， ， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠可知：， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 点的坐标； （2）解：如图2，过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于， ，， 的周长为，则点四点共线时最小值为， 由（1）可得， 点，点关于轴对称，点，点关于对称， ，， 点，点， ， 的周长最小值为8； （3）解：存在点使得△为等腰三角形， 若，如图3， ，， ， ， 若时，如图4， ， ， ； 若，如图5， ， ， 此时点与点重合， 不存在这样的点． 综上所述：的度数为或． 拓展训练二：特殊平行四边形的存在性问题 1．如图1，在矩形中，是线段上一点，作交对角线于点，设，若，，将沿折叠得到． (1)当时，求关于的表达式，并求出的取值范围． (2)在（1）的条件下，矩形边上是否存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，当在的角平分线上时，此时___________．（用的代数式表示） 【答案】(1) (2)存在，当时，四边形是平行四边形 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和含的直角三角形的性质即可求解； （2）设交于O，当，时，四边形是平行四边形，可得出，可表示出，进而得出，进而求得结果； （3）连接，，，可知垂直平分，则，进而可得，由点在的角平分线上，可求得，则，知，由（1）知，，即，由（1）知，，求得，即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，则， ∴， ∵，则 ∴， ∵，即， ∴，即：， ∴； （2）存在，当时，四边形是平行四边形，理由如下： 在矩形中，，则， 由折叠得，，，则， 则与不可能平行， 如图，当，为对角线时， 设交于O，当，时，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上，存在，当时，四边形是平行四边形； （3）连接，，， 由翻折可知，，， ∴垂直平分，则， ∵ ∴， ∴ ∵点在的角平分线上， ∴， ∴，则， ∴， 由（1）知，，即：， 由（1）知，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，轴对称的性质，含的直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，找到边之间的数量关系． 2．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)存在最小值，的最小值为 (3)D的坐标为或或 【分析】本题考查四边形综合应用，坐标与图形，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用勾股定理的逆定理证明，根据三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）连接，可得，故当最小时，最小，此时，用面积法可得答案； （3）过A作于K，求出点A的坐标，设，而，分三种情况：①若为对角线；②若为对角线；若为对角线，分别解方程组可得D的坐标为即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在点P的运动过程中，的长存在最小值，理由如下： 连接，如图： 由（1）知，四边形是矩形， ， ∴当最小时，最小，此时， ∴， ， ∴的最小值为； （3）过A作于K，如图： 同（2）可知， ， ， 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ②若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ③若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； 综上所述，D的坐标为或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． (1)求点A，B的坐标； (2)若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为；点B的坐标为； (2)直线的表达式为 (3)存在，当点E的坐标为或时，四边开形为正方形 【分析】（1）分别将、代入即可解答； （2）如图，过点作轴于点．先求出P点坐标，再求出、的长，然后根据求得C点坐标，再运用待定系数法即可解答； （3）如图2，设点的坐标为，可得Q点纵坐标，再代入可得Q点得坐标，然后表示出、的长，再令其相等求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得，          ∴点B的坐标为 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为． （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴点P的坐标为． 如图，过点P作轴于点H． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． ∴ 设直线的表达式为． 将，代入， 得解得 直线的表达式为． （3）解：存在，E的坐标为或，理由如下： ∵轴，轴 ∴ ∵轴 ∴四边开形为矩形 如图2，设点E的坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标也为． 把代入，得，解得． ∴点Q的坐标为 ∴，． ∵当时，矩形为正方形， ∴，解得或． 当时，；当时，， ∴当点E的坐标为或时，四边开形为正方形． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质、待定系数法、正方形的性质成为本题的关键． 4．如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点重合），作交边于点，连结． (1)如图1，当点与点重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，，，点在线段上运动，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； (3)如图3，，在延长线上（可以与点重合）存在一点，使得四边形为矩形，求的度数范围． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定； （2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，，所以菱形的面积即可求得； （3）如图，点在延长线上 （可以与点重合），得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是． 【详解】（1）解：证明：是的中位线， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：如图2，连接， 四边形是菱形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，，， ， ， ， ， 菱形的面积为2； （3）如图，点在延长线上 （可以与点重合）， ， 随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小， 如图，四边形是矩形， ， 而， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握． 5．在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”.请你根据以上定义，回答下列问题：    (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_________（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等；②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点E、F分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，，是否存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)，， 【分析】（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可； （2）证明，得到，由余角的性质可证，可得结论； （3）根据“双直四边形”的定义分当时，当时，当时三种情况讨论，结合两直线垂直的斜率乘积为得到结果． 【详解】（1）解：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”， 正方形是“双直四边形”，由于正方形的对角线相等且面积等于对角线乘积的一半，故“双直四边形”的对角线相等且面积等于对角线乘积的一半．故①错误，②正确； 中心对称的四边形是平行四边形，再根据“双直四边形”的定义得到四边形是正方形． 故③正确； 故答案为：②③； （2）证明：设与交于点， 正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为“双直四边形”．    （3）解：设与交于点， 当时，此时设， 点，，， ， ， 使得四边形为“双直四边形”， 故， 即， 解得， 的坐标为，    当时，即，此时设， 点，，， ，， 时，即， ， 即， 解得， ， ， ， 使得四边形为“双直四边形”， 故， 即， 解得， 得， 故的坐标为，    当时，即，此时设， 点，，， ，，， ， 时，即， ， 即， 使得四边形为“双直四边形”， 故， 即， 联立式得， 解得， 故，    综上所述，，，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两直线垂直的斜率乘积为，一次函数的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 拓展训练三：特殊平行四边形的旋转问题 1．如图，在正方形ABCD中，顶点A（0，－2），B（0，2），点E是BC的中点，DE与OC交于点F．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质求出，进而得到，MO和DM的长度，再利用正方形的性质和中点的定义求得，进而得到，用勾股定理求出DE，利用三角形面积公式求出CF，进而求得OF，EF和MF的长度，过F作 轴于G，利用三角形面积公式求出点F的坐标，再根据旋转的规律求解． 【详解】解：如下图．∵四边形ABCD是正方形，顶点A（0，－2），B（0，2）， ∴，，，轴， ∴是的中位线， ∴． ∵点E是BC的中点，DE与OC交于点F， ∴， ∴， ∴， ． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 过F作 轴于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将正方形ABCD绕点O顺时针每次旋转90°， ∴第一次旋转90°后对应的F点的坐标为， 第二次旋转90°后对应的G点的坐标为， 第三次旋转90°后对应的G点的坐标为， 第四次旋转90°后对应的G点的坐标为）， …， ∵， ∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，相当于正方形ABCD绕点O顺时针旋转2次， ∴第2022次旋转结束时，点F的坐标为. 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，坐标与图形变换-旋转，勾股定理，三角形面积公式，三角形中位线定理，正确的理解题意是解题的关键． 2．如图，正方形和，，连接．若绕点旋转，当最大时， ． 【答案】6 【分析】作于，如图，由于，则绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证得到，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】作于，如图， ，当绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上， 当为此圆的切线时，最大，即， 在中，, ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 3．如图，在矩形中，,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 . 【答案】. 【详解】如图，过点C作MN⊥BG，分别交BG、EF于点M、N，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在Rt△BCG中，根据勾股定理求得CG=4，再由,即可求得CM= ,在Rt△BCM中，根据勾股定理求得BM=，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENM为矩形，根据矩形的旋转可得BE=MN=3,BM=EN= ,所以CN=MN-CM=3-=,在Rt△ECN中，根据勾股定理求得EC=. 考点：四边形与旋转的综合题. 4．已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明四边形是矩形，再得，即可解决问题； （2）①证明，可得即可； ②先根据正方形的性质得，则，，所以，由得，则，即可证明，于是得，根据四边形的面积的面积正方形的面积，即可解决问题； （3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，所以为等腰直角三角形，所以四边形的面积等腰直角三角形的面积，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：①， 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积； （3）解：如图，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形的面积等腰直角三角形的面积． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键． 5．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．      (1)如图1，连接，，判断与的位置关系和数量关系，并证明． (2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点，连接，，若，，求． (3)如图3，将正方形绕点旋转至如图的位置，且，连接，交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长交于点，证明≌，根据全等三角形的性质得出，，再结合直角三角形的性质可得出结论； （2）过点作于点，证明≌，得出，，再证明≌，由全等三角形的性质得，求出和的长，代入三角形的面积公式即可求解； （3）在上截取，连接，，证明≌，由全等三角形的性质得，，再证明≌，可得，则，结合等腰直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）如图，延长交于点，    在正方形和正方形中， ，，， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 即， ，； （2）如图2，过点作于点，    ， ， 又， ≌， ，， ，，， ， ，， ， 又，， ≌， ， ， 又， ，， ， ， ； （3）如图3，在上截取，连接，，    ∵正方形和正方形中，， ， 又， ≌， ，， ，，， ≌， ，， ， ， ， ， ， 又，， ≌， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是本题的关键． 拓展训练四：特殊平行四边形的最值问题 1．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN，由对称性可得AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，可得MN+BM＝HM+MN，则当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，根据两点之间线段最短可得MN+BM的最小值为HN，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求AO的长，利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN， ∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO， ∴MN+BM＝HM+MN， ∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝， ∵S△ABC＝×AB×BC＝AC×BO， ∴BO＝， ∴BH＝， 在中， ， ∵HN⊥AB， S△ABH＝×AB×HN＝BH×AO， ∴MN+BM的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，利用面积法求出BO是解题的关键． 2．如图，正方形ABCD的面积为s，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为s，可求出AB的长，从而得出结果． 【详解】解：连接BD，设BE与AC交于点F，连接PD ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． ∵正方形ABCD的面积为s， ∴AB=． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=． ∴所求最小值为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题． 3．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：4． 4． 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、，已知线段，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)当、、三点共线时，的值最小，最小值是10 (3)13 【分析】（1）由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； （2）若点不在的连线上，根据三角形中任意两边之和大于第三边知，故当、、三点共线时，的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作，过点作，过点作，使，，连接交于点，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值． 【详解】（1）解：设，则， 由勾股定理得：， ， ； （2）解：如图，当、、三点共线时，的值最小；过点作交的延长线于点，得矩形， 则，，， ， 即的最小值为10． （3）解：如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接交于点，过点作交的延长线于点，得矩形， 设，则的长即为代数的最小值． 则，，， ， 即的最小值为13． 的最小值为13． 【点睛】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 5．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值； (2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）如图， 连接， 作于，然后证明 ，可得由此即可解决问题； （3）①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，运用勾股定理求出x值即可； ②如图中， 当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图2， 连接， 作于， 则，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ， ∴与的函数关系式； （3）解：①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大， 在中，， ∴的最大值， ②如图中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ∵， ， ； 故答案为：；； （4）解：如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，即点运动的路线长的长，即， 故答案为：． 拓展训练五：特殊平行四边形的新定义问题 1．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】如图②，已知四边形纸片是筝形，连结，相交于点O． 请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2． 结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ． 【拓展应用】如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G． （1）求证：四边形是筝形； （2）若，，，，求的长． 【答案】【概念理解】：是；【性质探究】：，(任选一个即可，答案不唯一)；【拓展应用】：（1）证明见解答过程；（2） 【分析】【概念理解】根据题意得,即可得解； 【性质探究】如图，根据折叠性质可证明,可得,再利用等腰三角形的三线合一的性质即可得到结论； 【拓展应用】(1)先证,再根据“筝形”的定义判断即可；(2)由折叠性质可证四边形是正方形，设,根据勾股定理即可求解． 【详解】【概念理解】解：由折叠性质得：， 四边形是“筝形”， 故答案为：是； 【性质探究】解：如图， 筝形是四边形， 筝形的内角和为， 在和中 ， ， , , 故答案为：，(任选一个即可，答案不唯一)； 【拓展应用】(1)证明：如图，连接， , 和是直角三角形， 在和中， , , , 四边形是四边形是“筝形” (2)解：由折叠性质可得：,,,, , , , 四边形是正方形， , 设,则, 在中，, ,解得：, ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键. 2．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【答案】（1）  （2）证明见解析  （3） 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， 根据四边形内角和定理得，； （2） 在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 如图 3 ，过点作于，于， ，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 3．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D  性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形”  拓展应用：（3）   （4） 【分析】概念理解：根据三角形中位线定理，以及正方形判定和性质可得答案； 性质探究：由中位线的性质可得：，结合正方形的性质可得结论； 问题解决：（1）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形， 连接交于， 连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （4）如图， 记的中点分别为，连接交于， 连接， 当点在上 (即共线) 时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（3）的结论即可求得答案. 【详解】概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：； 性质探究：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ， 故答案为：； 问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”. 拓展应用：（3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； （4）如图， 令与的交点为， 连接， 当点在上 (即共线) 时， 最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究知： 又∵分别是的中点， ， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：， ； ． 故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 4．我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边． (1)下列选项中一定是“奇妙”四边形的是______．（填写序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图，在四边形中，平分，请说明四边形是“奇妙”四边形； (3)已知在“奇妙”四边形中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边，对角线，求该“奇妙”四边形的周长． 【答案】(1)②④ (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据“奇妙”四边形的定义求解即可； （2）如图所示，过点D作于E，交延长线于F，由角平分线的性质得到，再证明，得到，即可证明四边形是“奇妙”四边形； （3）分和，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】（1）解：矩形和正方形的对角都为90度，即它们的对角互补，且它们的对边相等，而平行四边形和菱形的对角不一定互补， 故正方形和矩形是“奇妙”四边形， 故答案为：②④； （2）证明：如图所示，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是“奇妙”四边形； （3）解：如图所示，当时，延长到E，使得，连接，过点A作于F， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵“奇妙”四边形的一组对角互补，且四边形内角和为360度， ∴“奇妙”四边形的另一组对角也互补， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为； 如图所示，当时，延长到E，使得，连接，过点B作于F，过点H作直线的垂线，交直线于H， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴平方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为； 综上所述，四边形的周长为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质与判定，正方形，矩形，菱形，平行四边形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积． 【答案】（1）图见解析；（2）的长是12或；（3）72 【分析】（1）根据“筝形”的定义，结合网格性质画图即可； （2）分，两种情况，画出图形，分别求解； （3）过A作，证明，得到，，再证明，从而说明四边形是正方形，设，表示出相应边，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再计算面积． 【详解】解：（1）如图1，点D是所求作的点， 由勾股定理得， ， ， 由图可得， ∴，， ∴四边形是“筝形”； （2）如图，当时，    ∵是中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又，， ∴四边形为矩形． ∴． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 如图，，， 过点G作于点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上所述，或． （3）如图，过A作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 又，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，    设，则， ，， 在中，， 即， 解得． ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题是四边形综合题，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，有一定综合性和拓展性，通过新图形“筝形”关联所学知识点，能够更好地体现知识点的应用． 1．下列命题正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意； B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 2．如图，在直角坐标系中，已知点，，线段向上平移后，的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，平移的坐标变换，熟练掌握坐标平移变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据正方形的性质求得，再根据坐标平移变换规律求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∵线段向上平移后，的对应点分别为， ∴， ∴ 故选：B． 3．若取四边形各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线定理和菱形的判定，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键 顺次连结四边形各边的中点，则所得四边形的四边分别是以原四边形对角线为底边的四个三角形的中位线，根据三角形的中位线定理可得原四边形对角线相等 【详解】如图所示：∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，，， ，， ， ∴，，， ∵四边形为菱形 ∴， ∴， 故选：D 4．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连结，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理的计算，掌握勾股定理的计算是关键．根据题意得到，，，设，则，在，中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∵，，，是四个全等的三角形， ∴设，则， 在中，， ∴，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 在中，， 故选：D ． 5．如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查出正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，四边形的周长，先根据四边形的性质得，，，进而得和是等腰直角三角形，，，即可计算四边形的周长． 【详解】解：方形的边长是2， ，，， 又，， 和是等腰直角三角形， ，， 四边形的周长， ， ， ． 故选：B． 6．如图，菱形中，点，分别是，上的点，已知，，则对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，作，证明四边形为平行四边形，得到，，进而得到为等腰三角形，三线合一结合勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作，如图， ∵菱形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，； 故答案为：． 7．如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，如图所示，过点作，可得是等腰三角形，四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形，则，，根据折叠，得到，在中由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 如图所示，过点作， ∴是等腰三角形， ∴四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠性质，勾股定理的运用，掌握矩形的折叠，勾股定理的运用是解题的关键． 8．如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长，交于点G，连结.若，，则的长为 . 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，平移的性质，连接，根据题意及矩形的判定定理得出四边形为矩形，即可得到，再由平移的性质确定即可求解． 【详解】解：连接， 由平移可得：，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形， ∴， ∴， 故答案为：. 9．如图，已知矩形的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】过点D作于点M，设的交点为N，利用矩形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解答即可． 【详解】解：过点D作于点M，设的交点为N， ∵矩形的对角线与相交于点，，沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键． 10．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 【答案】80 【分析】取边的中点M，连接,证明，得，，，进而可证明，，可得，根据勾股定理得，进而可得，即可求出四边形的面积． 【详解】解：取边的中点M，连接． ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∴在中，根据勾股定理得， ， ， ∵四边形是正方形， ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形三角形的判定等；难度系数较大，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 11．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 12．如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于． (1)求证：． (2)请写出与之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点作交于．先证明四边形为矩形，再根据证明即可； （2）证明四边形为矩形得，证明得，，证明得，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作交于． ∵正方形中， ∴，． ∵， ∴， 又 ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，，， ∴． ∴． （2）， 证明：∵正方形中， ∴， 又 ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 13．小丽和小明在研究一个尺规作图问题． 如图1，在四边形中，，．用直尺和圆规作，交边于点E． 小丽：如图2，以点B为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则．    (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）； ①小丽的作法______； ②小明的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程） 【答案】(1)正确，正确 (2)见解析 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得到结论； （2）利用平行四边形的判定和矩形的判定证明四边形是矩形，再根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：小丽和小李的作法正确， 故答案为：正确，正确 （2）如图2中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故小丽作法正确； 如图3中，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 14．四边形是一张平行四边形纸片，将纸片沿着折叠，使点落在直线上的点处，点的对应点为，和相交于点． (1)如图1，当平行四边形是矩形时： ①连接，求证：四边形为菱形： ②如图2，若，当点与点重合时，______； (2)如图3，当平行四边形满足，，且为的中点，求此时的长度． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，易证，得到，结合，得到，由平行线的性质得到，进而得到，推出，根据折叠的性质得到，即可证明结论；②如图，过点E作于点H，连接交于点O，证明四边形是矩形，设，则，求出，，证明是等边三角形，推出，利用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质求出，再根据四边形为菱形，求出，即可解答； （2）连接，分别过点作，垂足分别为，证明，推出三点共线，再证明，证明是等腰三角形，求出，，，，，，进而求出，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）①折叠的性质得到， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，即， ∵使点落在直线上的点处，平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴四边形为菱形； ②如图，过点E作于点H，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵点与点重合， ∴， 由①知四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵点与点重合， ∴； （2）解：连接，分别过点作，垂足分别为， 折叠的性质得到， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴三点共线， 由折叠的性质得， ∴，即， ∵点落在直线上的点处，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角矮星的判定与性质等知识，综合运用以上知识点是解题的关键. 15．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明见解析，（IV）或． 【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可． 根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得． （III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可． （IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可． 【详解】（II）解：①如图①， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴； ②如图③∵矩形中， ∴，，， ∴，， ∴； ③如图②，∵在菱形中，，， ∴，， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ④如图①， ∵正方形的边长为，，， ∴， ∴； ⑤如图③∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∴； （III）结论：，理由如下： 方法一：采用几何法： 如图，过点A作于，过点D作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， ∵，， ∴ 同理可得：， ∴． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 由平行四边形性质，点C的坐标为： ∴，，， ∴ （IV）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的结论得， ∴， ∴， ∴，（不合题意舍去）， ∴， 点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为， ∴， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 当对应点在点下方时，设点B的对应点为， 同理可得： ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 特殊平行四边形 （3知识点+12大考点+拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 矩形的判定与性质 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点】对于矩形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②有一个角是直角. 2.矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 3.矩形的对称轴 1）矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是经过对边中点的直线； 3）过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分. 4.矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 矩形判定思路： 知识点 2 菱形的判定与性质 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等. 2.菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 3.菱形的对称性 1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 4. 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 知识点 3 正方形的判定与性质 1.正方形的定义：有一组邻边相等且只有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.正方形的性质： 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【补充】 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 3.正方形的对称性： 1）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2）正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 4.正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 考点一：矩形的判定 例1．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式1-1】如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形． 【变式1-3】如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【变式1-4】如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 考点二：矩形的性质 例2．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 【变式2-3】如图，点E为边上的一点，连接并延长与的延长线交于F，若点 C是边的中点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【变式2-4】如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，以为边作矩形 (点、在的同侧)，且，连接． (1)如图1，当点在的中点时，点、、在同一直线上，求的长； (2)如图2，当时，求证：线段被平分． 考点三：利用矩形的性质证明 例3．如图，在长方形中，，对角线，平分交于点E，是线段上的点，连接，过点C作交的延长线于点P，当为等腰三角形时，（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【变式3-3】如图，矩形ABCD中，的平分线交于E，交的延长线于F，G是的中点，连接，若，则 ．    【变式3-4】八年级教材下册5．1《矩形》的作业题中有如下题目： 利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 小嵊同学将该问题输入，给出如下分析： 已知：如图1，在中，，D为斜边的中点． 求证：． 证明思路： 延长至点E，使，连接，，证明构造的四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论． (1)请根据提供的思路完成证明； (2)好学的小州同学展开了探索：在中，，延长至点E． ①如图2，若，D为边的中点，连接，，求的度数； ②如图3，若，，点F是边中点，连接，求的长． 考点四：矩形与折叠问题 例4．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（   ） A．9 B．12 C．14 D．15 【变式4-2】在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为（　　） A．18 B．12 C． D． 【变式4-3】如图，在矩形中，，为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若、分别为、的中点，则的最小值为 ． 【变式4-4】如图．将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的面积． 考点五：菱形的判定 例5．如图，的对角线、相交于点O，添加一个条件，使得是菱形，则下列选项不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，点E，F分别在的边上，，增加下列其中一个条件：①；②；③；能使四边形是菱形的条件个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5-2】如图，在中，，，分别是，边上的中点，于点D，过点E作交于点G，连结，则的长为 ． 【变式5-3】如图，已知矩形，连结． (1)用无刻度直尺和圆规在线段，上分别作点，（保留作图痕迹），连结，，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【变式5-4】如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 考点六：菱形的性质 例6．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ． 【变式6-2】如图，四边形是菱形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，求的长度． 【变式6-3】如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长度． 【变式6-4】如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 考点七：利用菱形的性质证明 例7．老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． (1)请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． (2)连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 【变式7-1】尺规作图问题：如图1，菱形，点是边上一点（不包含），连接．用尺规在边上找到点，连结，使． 小明：如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． (1)如图2，请你证明小明的作法是正确的． (2)指出小丽作法中存在的问题． 【变式7-2】如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【变式7-3】如图，点O是菱形对角线的交点，，，连接． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【变式7-4】菱形的边长为，，点是对角线中点，是线段上任一点，连接，作，边与直线相交于点． 小南和小浦观察以上问题时，猜想，老师引导他们用“从特殊到一般”的思想方法去尝试研究． 【特例发现】 小南发现：当点与点______重合时，与的长度相等，为______； 【探究证明】 小浦认为当在线段上时，均有“”，请帮助完成证明． 【拓展运用】 连结交于点，求证：为定值． 当时，______． 考点八：菱形的面积计算 例8．如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（   ） A．16 B．32 C． D． 【变式8-1】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ） A．24 B．36 C．12 D．6 【变式8-2】已知菱形一组对角的和为，较短的一条对角线的长度为4，那么这个菱形的面积为 ． 【变式8-3】如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式8-4】如图，矩形的对角线，相交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 考点九：正方形的判定 例9．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【变式9-1】如图，已知点，点在轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，，且．则的值为 ． 【变式9-2】已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为点，，求证：四边形是正方形． 【变式9-3】如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式9-4】如图，在矩形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，已知，．    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的面积． 考点十：正方形的性质 例10．如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】在正方形中，是对角线上一动点，作于点，于点．若四边形的面积为6，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【变式10-2】如图，已知正方形 边长为 2，点 ， 分别在边 ， 上，将正方形沿着 翻折，点 恰好落在 边上的点 处． 如果四边形 与四边形 的面积比为 ，那么线段 的长为 ． 【变式10-3】如图，正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点． (1)求的长； (2)求的长． 【变式10-4】如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． (1)　　（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图（2），在中，，高，，求的长度． 考点十一：利用正方形的性质证明 例11．如图，在中，，分别以为边作正方形和正方形，使点分别落在的延长线上，连接交于点H．求的长，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【变式11-1】如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 【变式11-2】如图，为正方形内的一点，，若，，则的长为 ． 【变式11-3】如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ． 【变式11-4】如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于． (1)求证：； (2)求证：． 考点十二：中点四边形 例12．如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【变式12-1】如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点． 则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是菱形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-2】定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 【变式12-3】如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为 ． 【变式12-4】已知四边形， (1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图（2），若于，，，求的值． 拓展训练一：特殊平行四边形的判定与性质综合 1．已知在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，过点B作，交于点H，G．求证：． (3)如图3，在（2）条件下，连接，求证：四边形是菱形． (4)如图4，在（2）、（3）条件下，作平分，交于点M，请直接写出线段之间的数量关系． 2．如图1，在四边形中，，的平分线交于点，交直线于点，下面是两位同学的对话． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明（选小波得4分，选小杭得2分）； (2)如图2，若，四边形是菱形，分别连结，，求的度数． 3．如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是矩形． 4．如图，在边长为 6 的正方形 中， ， 两点分别为线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值，并写出解答过程． 5．如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点E的坐标； (2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 拓展训练二：特殊平行四边形的存在性问题 1．如图1，在矩形中，是线段上一点，作交对角线于点，设，若，，将沿折叠得到． (1)当时，求关于的表达式，并求出的取值范围． (2)在（1）的条件下，矩形边上是否存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，当在的角平分线上时，此时___________．（用的代数式表示） 2．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． (1)求点A，B的坐标； (2)若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点重合），作交边于点，连结． (1)如图1，当点与点重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，，，点在线段上运动，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； (3)如图3，，在延长线上（可以与点重合）存在一点，使得四边形为矩形，求的度数范围． 5．在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”.请你根据以上定义，回答下列问题：    (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_________（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等；②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点E、F分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，，是否存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点D的坐标，若不存在，请说明理由． 拓展训练三：特殊平行四边形的旋转问题 1．如图，在正方形ABCD中，顶点A（0，－2），B（0，2），点E是BC的中点，DE与OC交于点F．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形和，，连接．若绕点旋转，当最大时， ． 3．如图，在矩形中，,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 . 4．已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 5．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．      (1)如图1，连接，，判断与的位置关系和数量关系，并证明． (2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点，连接，，若，，求． (3)如图3，将正方形绕点旋转至如图的位置，且，连接，交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 拓展训练四：特殊平行四边形的最值问题 1．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形ABCD的面积为s，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小． 4． 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、，已知线段，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值． 5．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值； (2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ． 拓展训练五：特殊平行四边形的新定义问题 1．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】如图②，已知四边形纸片是筝形，连结，相交于点O． 请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2． 结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ． 【拓展应用】如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G． （1）求证：四边形是筝形； （2）若，，，，求的长． 2．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 3．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 4．我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边． (1)下列选项中一定是“奇妙”四边形的是______．（填写序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图，在四边形中，平分，请说明四边形是“奇妙”四边形； (3)已知在“奇妙”四边形中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边，对角线，求该“奇妙”四边形的周长． 5．【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积． 1．下列命题正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．如图，在直角坐标系中，已知点，，线段向上平移后，的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若取四边形各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形 4．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连结，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 5．如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（   ） A．2 B． C．4 D． 6．如图，菱形中，点，分别是，上的点，已知，，则对角线的长为 ． 7．如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 8．如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长，交于点G，连结.若，，则的长为 . 9．如图，已知矩形的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长为 ．    10．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交点．已知，求四边形的面积． 11．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 12．如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于． (1)求证：． (2)请写出与之间的数量关系并证明． 13．小丽和小明在研究一个尺规作图问题． 如图1，在四边形中，，．用直尺和圆规作，交边于点E． 小丽：如图2，以点B为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则．    (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）； ①小丽的作法______； ②小明的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程） 14．四边形是一张平行四边形纸片，将纸片沿着折叠，使点落在直线上的点处，点的对应点为，和相交于点． (1)如图1，当平行四边形是矩形时： ①连接，求证：四边形为菱形： ②如图2，若，当点与点重合时，______； (2)如图3，当平行四边形满足，，且为的中点，求此时的长度． 15．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$