第二篇 第3讲 解题有门道 四大数学思想 -【导与练】2023高考文科数学二轮复习教学课件PPT（老教材）

导马球 第3讲 解题有门道：四大数学思想 96 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数 学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述， 那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对 数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思 想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等 一、函数与方程思想 热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 【例1】已知函数f(x)=x2+3,g(x)=x(a-21nx),若f(x)≥g(x)对任意x∈(0，+∞)成 立，则实数a的取值范围是( A.（-∞，0] B.（-∞，4] C.(-∞，41n3]D.(-∞，4+21n3] 」解析：函数f(x)=x’+3，g(x)=x(a-2In x)， 若f(x)≥g(x)对任意x∈(0，+∞)成立，则x-+2lnx≥a， 3 │令h(x)=x++2|nx，x∈(0，+∞)，则h′(x)=1^x-+-)() 332x12x+3 当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减； ，当x∈(1，+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)mn=h(1)=4，故a≤4.故选B。 思维建模 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决 相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造 新函数，建立函数关系求解 【热点训练1】(2022·全国甲卷)已知a一，b=cos-,c=4sin-,则( 31 1 1 A.c>b>a B.b>a>c 32 4 C.a>b>c D.a>c>b 解析：因为b=cos-=1-2sin2-,所以b-a=1-2sin2---s一-2sin2-=2(一-sin2-).令f(x)= xsin×,则f'(孕=1-cosX≥0，所以函数f⑧)鞋及上单魂递墙所以当x0时， f(x)>f(0)=0,即有x>sinx(x>0)成立，所以->sin-,得->sin-,所以b>a.因为-= 1 11 1 4tan,所以令g(x)=tanx-x,则g'气x)三；64-1=8，≥0，所以函数 2 2 2 4sin 4 1 cos x+sin x 1 cos x 在定义域内单调递增，所以当x>0时，g(x)>g(O)=的，即有tanx弋x>0)成立，所以 tan->,即4tan->1,所以->1(b>0),即c>b.综上c>b>a.故选A. 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 【例2】设等差数列{a}的前n项和为S,若S=-2,S=0,S6=3. (1)求数列{a}的前n项和Sn; 解：（1)因为S4=-2,S=0,S6=3,所以as=S5-S=2,a6=S6-S=3, 又{an}是等差数列，则公差d上a6-as=1, 由于Sǒ（）-0，所以a=-2,故S=-2n+（-）- 2 2 2 【例2】设等差数列{a}的前n项和为S,若S4=-2,S=0,S=3. (2)求nSn的最小值 解：(2)由(1)知，nS,2,设f(x)=,2则f′（x)=×2-5x(x>0). n 5n x 5x 3 令f'(x)>0,得x>-;孕f'(x)<0,得<x<-, 2 所以f(x)在（一，+9上单调递增，在(0，-）是单调递减，又f(3)=-9,f(④=-8， 10 10 所以当n=3时，nS.取到最小值-9. 3 、思维建模 数列的通项与前项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问 题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数：等差数列或等比数列 的基本量的计算一般划归为方程（组）来解决 【热点训练2】设等比数列{a}满足a+a=l0,a+a4=5,则a,·a·…·a的最大值 为 解析：等比数列{an}满足a+a3=10,a2+a45,设公比为q, 可得a2ta4=g(a1+a3)=5,解得q=,a1+a1g=10,解得a=8, 1 (-） 则a1·a2·…·an= nn 1 n2 n 7mm2,根据二次函数的性 1 3n2 2 a 2) 2 2 质可得当n=3或n=4时，最大，此时a1·a·…·an取得最大值=2=64. 12 7n2n 22 答案：64