专题08 解三角形中的多三角形问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册）

学科网 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题08解三角形中的多三角形问题 知识重现 1多三角形问题 多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系鱼（补角或余角）等图形特征，利用方程的 思想，利用正余弦定型与三角函数公式进行结合求解 2.三角形的特殊线问题 特殊线 常见用法 AD为△ABC的内角LBAC的中线，则有 中线问题 而-+0 ,两边平方后 而-丽+C+2丽C AD为aABC的内角∠BAC的平分线，则有 ①内角平分线定理： AB BD AC DC 角平分线问题 ②等面积法：因为SABD+SA4CD=SABc· 1 -c·AD sin。+-b·AD sin=-bcsin A 所以2 3 2 22 ①h,h2,h分别为△ABC边a,b,c上的高，则 11,11.1.1 高线问题 h:h2:h3= a b'c sin A'sin B'sin C ②一般采用等面积法求解 考点预览 考点一 多三角形问题 1.四边形切割多三角形问题 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 2.三角形切割多三角形问题 考点二 三角形的特殊线问题 1.中线问题 2.角平分线问题 3.高线问题 题型展示 考点一多三角形问题 1.四边形切割多三角形问题 例1.(2022全国·高三专题练习)如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7,∠ABC-120°，sn∠BAC= 55且BD为∠ABC的平分线，则BD(） 14 A.6 B.9 C.7 D.8 【答案】D 【分析】在△ABC中，利用正弦定理即可求出BC,确定A,B,C,D四点共圆，可得∠DBC=∠DAC=60°， 在△BDC中，利用余弦定理即可求解 BC AC BC7 【详解】由正弦定理得sin∠BAC"sin乙A8C 535 →BC=5 142 由AC=AD=CD=7,可得∠ADC=60°，∠ABC=120°， 所以A,B,C,D四点共圆，∠DBC=∠DAC=60°， 由余弦定理cos∠DBC=BD+BC2-DC2 →BD=8 2BD·BC 故选：D 【点睛】关键点睛：解决本趣的关键是正弦定理、余弦定理的运用 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让学司更客品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 练习1.(2023全国·高一专题练习)如图，为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上的B,D两点， 测出四边形ABCD各边的长度（单位：km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且A,B,C,D四点共圆， 则AC的长为 km B D 【答案】7 【分析】根据四点4B,C,D共圆可得LB+LD=x,再利用余弦定理可得89-AC。-34-AC ，即可求得 80 30 答案 【详解】：A,B,C,D四点共圆，圆内接四边形的对角和为刀· .∠B+∠D=T ∴.由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CD cos.∠D=52+32-2×5×3c0s∠D=34-30c0s∠D, AC2=AB2+BC2-2AB.BCcos.∠B=52+82-2×5×8cos∠B=89-80cos∠B, :∠B+∠D=π，即c0s∠B=-c0sLD, ÷89-AC.-34-4C解得4C=7 80 30 故答案为：7 练习2.(2023山东菏泽统考一模)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=(0<0<π，AB=BC=CD=1, AC⊥CD (1)试用0表示BD的长 (2)求AC2+BD的最大值 【答案】()BD=2cos4 曾 【分析】(I)根据已知条件将LBCD用O表示，再在△BCD中利用余弦定理求解即可， (2)在△ABC中先用余弦定理将AC用O表示，再结合()的结论，利用二次函数的性质求解最大值即可 【详解】(1)：∠ABC=0(0<0<π)，AB=BC=CD=1,AC⊥CD 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 :∠BCA=T0 ，则∠BcD-+∠c+=x-号 在△BCD中，BD=BC2+CD2-2BC-CDcos∠BCD=2+2cos2=21+2cos3E4cos4 4 ”0<0<π :cos9>0,则BD=2c0s4 0 (2)在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2-2cos0, 4C2+BD2=2-2cos0+2+2cos5=-4c0s29 0 :0<0<,0<os2<1 则当9-时，取到最大值 2 =4 4 故4C+8D的最