专题07 余弦定理、正弦定理的实际应用举例-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册）

令学利阿 学科网原到，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题07余弦定理、正弦定理的实际应用举例 知识重现 1.测量中的术语 术语 概念说明 图示 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上 视线 方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 铅 个仰角 垂 水平线 俯角 视线 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平 北 角，如B点的方位角为a Q 西 +东 南 B 方向角 相对于某一正方向的水平角 北 ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达 北偏东 日标 目标方向（如图）： a ②北偏西，即由指北方向逆时针旋转α到达 东 月标方向： ③南偏西等其他方向角类似. 坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如 图，角0为坡角)： i=- ②坡度：坡面的垂直高度与水平长度之比（如图， i为坡度).坡度又称为坡比。 2.解三角形实际应用题的步骤 ①分析：理解题意，弄清己知与未知，画出示意图： ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形 的数学模型： ③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解： 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解， 考点预览 考点一 测量高度问题 考点二 测量角度问题 考点三 测量距离问题 题型展示 考点一测量高度问题 例1.(2023秋内蒙古呼和浩特高三统考期末)小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了 如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C,D两观测点，且C,D与教学楼底 部B在同一水平面上，在C,D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45,30，并测得∠BCD=120 ，则教学楼AB的高度是() A.20米 B.20√2米 C.153米 D.25米 【答案】A 【分析】根据仰角可得BC=AB=h,BD=√5AB=√5h,在三角形BCD利用余弦定理即可求解 【详解】设教学楼的高度为h, 在直角三角形ABC中，因为∠ACB=45,所以BC=AB=h, 在直角三角形ABD中，因为∠ADB=30,所以AB =tan30°， BD 所以BD=√5AB=√5h, 在△BCD中，由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC.CDcos.∠BCD, 代入数值可得h2-10h-200=0解得h=20或h=-10(舍)， 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 学科网原到，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 故选：A 练习1.(2023河南校联考模拟预测)塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中困传统建筑.最 初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”.如图，为测量某塔的总高度 AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=30米， 在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度约为()（参考数据：√2≈1.4，√5≈1.7） 60° CA130° 45D A.13米 B.24米 C.39米 D.45米 【答案】C 【分析】在Rt△ABC根据∠ACB的正切得AB与BC的关系，在△BCD中利用正弦定理列式即可求解 【详解】设AB=m,则BC=,m tan60°√3 在△BCD中，∠CBD=105°，由正弦定理得CD BC sin105 sin 45' 因为s5im105°=sin(45°+60)=sin45c0s60°+c0s45sin60°=V2+V6, 4 代入数据，解得m=90-30√5≈90-30×1.7=39（米）， 故选：C. 练习2.(2023春·四川南充高三四川省南充市高坪中学校考开学考试)河北省正定县的须弥塔是中国建筑 宝库的珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证.一名身高 1.7m的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为45，他沿直线向塔行走了17m后 仰望须弥塔尖，仰角为60，据此估计该须弥塔的高度约为()（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732） 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A.41.9m B.40.2m C.39.5m D.37.8m 【答案】A 【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合15°的正弦值，求出答案 【详解】如图，4B,=17,因为∠C4,D,=45,∠CB,D,=60,所以∠ACB,=15,