3.3 预言未知星体 计算天体质量-【导与练】2022-2023学年新教材高中物理必修第二册同步全程学习全书word（教科版2019）

3　预言未知星体　计算天体质量 [学习目标] 1.认识万有引力定律的科学成就,了解万有引力理论对彗星回归、未知天体的预言。 2.理解称量地球质量的基本思路,会用万有引力定律计算天体的质量。 3.理解计算太阳质量的基本思路,能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后求解。 知识点一　预言彗星回归和未知星体 1.哈雷彗星的回归:哈雷根据牛顿的引力理论,对1682年出现的大彗星(后来被命名为哈雷彗星)的轨道运动进行了计算,预言了它再次出现的日期。 2.海王星的发现:经过仔细的观测发现天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来的轨道之间存在明显的偏差,并由此预言存在另一行星,这就是后来发现的海王星。 知识点二　计算天体质量 1.计算地球质量:地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力。mg=G,若已知G、g、R,可求出地球的质量M=。 2.计算太阳的质量:行星绕太阳运动,近似看成匀速圆周运动,行星的向心力由万有引力提供。设太阳的质量为mS,行星的质量为m,它们之间的距离为r,行星公转的周期为T,角速度为ω,有 G=mrω2=mr, 可得mS=。 1.思考判断 (1)地球表面的物体受到的重力必然等于地球对它的万有引力。(　×　) (2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径,则可以求出太阳的质量。(　×　) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径,可以求出地球的质量。(　×　) (4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(　×　) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(　×　) (6)海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(　√　) 2.思维探究 (1)月球是地球的唯一一颗天然卫星,月球已经伴随地球超过46亿年,根据月球的公转周期和轨道半径,我们能否推导出月球的质量,能否推导出地球的质量? 答案:根据G=m月r可知,我们可推导出地球的质量,无法推导出月球的质量。 (2)我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的,如果我们要“称量”出太阳的质量,应该知道哪些条件? 答案:由=m知m太=,由此可知“称量”太阳的质量需要知道某行星的公转周期T和它与太阳的距离r。 (3)天体质量及半径求出后,如何得到天体的平均密度? 答案:可由ρ=得到天体的密度ρ==。 要点一　计算天体的质量和密度 如图所示是卡文迪许测量引力常量的示意图。卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力,测出了引力常量G的值,从而“称量”出了地球的质量。 (1)卡文迪许测出G后,他是怎样“称量”地球的质量的呢? (2)已知地面附近的重力加速度g取9.8 m/s2,地球半径R=6.4×106 m,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,试估算地球的质量。 答案:(1)在地球表面,物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力,即mg=G,解得地球的质量m地=,只要测出G、g、R,便可“称量”地球的质量。 (2)m地== kg≈6.0×1024 kg。 1.天体质量的计算 (1)重力加速度法。 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g,根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力,得mg=G,解得天体的质量为m天=,g、R是天体自身的参量,所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法。 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量,俗称“借助外援法”。常见的情况如下: 万有引力 提供向心力 中心天体的 质量 说明 G=m m天= ①r为行星(或卫星)的轨道半径,v、ω、T为行星(或卫星)绕中心天体运动的线速度、角速度和周期。 ②“环绕法”求得的是中心天体的质量,而不能求绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)的质量 G=mω2r m天= G=mr m天= 2.天体密度的计算 (1)方法一:若天体的半径为R,由“重力加速度法”可知天体的质量为m天=,那么由ρ=及V=πR3求得天体的密度ρ=。 (2)方法二:若中心天体的半径为R,由“环绕法”可知中心天体的质量m天=(r、T为环绕天体的轨道半径和公转周期),那么由ρ=及V=πR3求得中心天体的密度ρ=。当行星(或卫星)环绕中心天体表面运动时,其轨道半径r等于中心天体半径R,则ρ=。ρ=给出了一种简单地求中心天体密度的方法,但是千万要注意这里的T是环绕中心天体表面运动时对应的周期,而不是在其他轨道上运动时的周期。 [例1] 我国月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施,大约用十年的时间完成,这极大地提高了同学们对月球的关注程度。以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题。 (1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,且把月球绕地球的运动近似看作匀速圆