8.2.1 两角和与差的余弦-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 学习目标 1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,进一步体会向量方法的作用. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式. 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值. 　两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式 Cα-β:cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β.  (2)两角和的余弦公式 Cα+β:cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β.  公式的记忆方法: ①理顺公式间的联系.C(α-β)C(α+β). ②注意公式的结构特征和符号规律. 对于公式Cα-β,Cα+β,用口诀“余余正正号相反”记忆公式. 公式逆用:cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β). (1)公式Cα-β与Cα+β都是三角恒等式,既可正用,也可逆用,要注意公式的结构特征. 如:cos αcos β±sin αsin β=cos (α∓β). (2)要注意充分利用已知角与未知角之间的联系,通过恰当的角的变换,创造出应用公式的条件进行求解. (3)注意角的拆分技巧的积累,如:α=(α+β)-β=(α-β)+β=+等. 提醒:注意角的范围对三角函数值符号的限制. 　利用两角和与差的余弦公式化简求值 [例1] (1)(多选题)下列各式正确的是(　　) A.cos(α+β)=cos α+cos β B.cos α+sin α=cos(-α) C.cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos α D.cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(170°-α)= (2)求下列各式的值: ①cos ; ②cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°. (1)解析:由两角和的余弦公式可知A错误; cos α+sin α=coscos α+sinsin α=cos(-α),故B正确; cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α,故C正确; cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α) =cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin[180°-(10°+α)] =cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(10°+α) =cos(70°+α-10°-α)=cos 60°=,故D正确. 故选BCD. (2)解:①cos =cos(π+)=-cos =-cos(-)=-cos(-) =-(cos cos +sin sin ) =-(×+×) =-. ②cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195° =cos 75°cos 15°-sin 75°sin(180°+15°) =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15° =cos (75°-15°) =cos 60° =. (1)在两角和与差的余弦公式中,α,β可以是单个角,也可以是两个角的和或差,在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体. (2)在两角和与差的余弦公式求值应用中的一般思路: ①把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值. ②在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值. [针对训练] (1)cos 345°的值等于(　　) A. B. C. D.- (2)化简下列各式: ①cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°); ②-sin 167°sin 223°+sin 257°sin 313°. (1)解析:cos 345°=cos(360°-15°) =cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° = 故选C. (2)解:①原式=cos[(θ+21°)-(θ-24°)] =cos 45°=. ②原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°) =sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47° =sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43° =cos(13°-43°)=cos(-30°)=. [备用例题] 求值:sin+cos. 解:原式=(sin+cos) =(sinsin+coscos) =cos(-)=cos=. 　给值求值问题 [例2] (1)已知α∈(,π),β是第三象限角,sin α=,cos β=-,求cos(α+β)的值; (2)已知cos α=,