8.2.3 倍角公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

8.2.3　倍角公式 学习目标 1.理解倍角公式的推导过程,知道倍角公式与和角公式之间的内在联系. 2.掌握倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 倍角公式 S2α:sin 2α=2sin αcos α.  C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. T2α:tan 2α=. 思考1:你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的? 答案:倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如2α是α的二倍角,8α是4α的二倍角,是的二倍角等. 思考2:二倍角正弦公式有哪些常见变形? 答案:正弦的二倍角公式的常见变形有: ①sin αcos α=sin 2α,cos α=. ②1±sin 2α=(sin α±cos α)2. 思考3:二倍角余弦公式有哪些常见变形? 答案:常见变形有①1+cos 2α=2cos2α;②cos2α=;③1-cos 2α=2sin2α;④sin2α=. (1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍角,α是的二倍角等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想. (2)对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan 2α≠0,且tan α有意义,即α≠kπ+(k∈Z),且α≠kπ-(k∈Z),且α≠kπ+(k∈Z).当 α=kπ+(k∈Z)及α=kπ-(k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+(k∈Z)时,tan α的值不存在,故不能用倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α. (3)倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin 3αcos 3α=sin 6α. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　利用倍角公式化简、求值 [例1] (1)(多选题)下列化简正确的是(　　) A.cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°= B.sin 15°sin 30°sin 75°= C.=- D.cos215°-sin215°= (2)化简求值: ①cos4-sin4; ②sin cos cos ; ③1-2sin2750°; ④tan 150°+. (1)解析:因为cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin 8°sin 52°-cos 8°cos 52°=-cos(8°+52°)=-cos 60°=-,故A错误; 因为sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,故B错误; 因为=tan(48°+72°)=tan 120°=-tan 60°=-,故C正确; 因为cos215°-sin215°=cos 30°=,故D正确. 故选CD. (2)解:①原式=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos α. ②原式=(2sin cos )cos =sin cos =(2sin cos ) =sin =. ③原式=cos(2×750°)=cos 1 500° =cos(4×360°+60°)=cos 60°=. ④原式= = = = = =- =-. 倍角公式的灵活运用: (1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有: 2sin αcos α=sin 2α,sin αcos α=sin 2α,cos α=,cos2α-sin2α=cos 2α,=tan 2α. (2)公式的变形:公式间有着密切的联系,这就要求思考时要融会贯通,有目的地活用公式.主要形式有:1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,cos2α=,sin2α=. [针对训练] 求下列各式的值. (1)sin cos ; (2)2sin2+1; (3)cos 20°cos 40°cos 80°; (4). 解:(1)原式===. (2)原式=-(1-2sin2)+2=2-cos =. (3)原式= = ===. (4)原式===2. [备用例1] (1)已知=,则tan α+等于(　　) A.-8 B.8 C. D.- (2)若sin x·tan x<0,则等于(　　) A.cos x B.-cos x C.sin x D.-sin x 解析:(1)==cos α-sin α=,所以(cos α-sin α)2=, 所以sin αcos α=-, 所以tan α+=+==-8.故选A. (2)因为sin x·tan x<0, 所以x为第二、第三象限角,cos x<0, 所以==|cos x|=-co