8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 学习目标 1.掌握两角和与差的正弦、正切公式. 2.会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运用,了解公式的正用、逆用、变形应用,以及角的变换的常用方法. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.两角和与差的正弦公式 名称 简记 符号 公式 使用 条件 两角和 的正弦 Sα+β sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β α,β∈R 两角差 的正弦 Sα-β sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β α,β∈R 思考1:如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式? 答案:sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)-β]=cos(-α)cos β+sin(-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β. 思考2:如何推导两角差的正弦公式? 答案:可以由sin (α-β)=cos[-(α-β)]=cos[(-α)+β]得到,也可以由sin (α-β)=sin[α+(-β)]得到. 2.辅助角公式 asin x+bcos x=(sin x+cos x), 令cos =,sin =,则有 asin x+bcos x=(cos sin x+sin cos x)=sin(x+),其中tan =,为辅助角. 3.两角和与差的正切公式 名称 简记 符号 公式 使用条件 两角和 的正切 Tα+β tan(α+β) = α,β,α+β≠kπ+ (k∈Z) 两角差 的正切 Tα-β tan(α-β) = α,β,α-β≠kπ+ (k∈Z) 思考3:两角和与差的正切公式对任意角α,β均成立吗? 答案:不是对任意角α,β均成立,必须使正切有意义,两角和的正切公式的使用条件为α,β,α+β≠kπ+(k∈Z),两角差的正切公式的使用条件为α,β,α-β≠kπ+(k∈Z). 思考4:两角和的正切公式的常见变形公式有哪些? 答案:两角和的正切公式的常见四种变形: (1)tan α+tan β=(1-tan αtan β)tan(α+β); (2)1-tan αtan β=; (3)tan α+tan β+tan α·tan β·tan (α+β)=tan (α+β); (4)tan α·tan β=1-. (1)两角和与差的公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成两角和与差的公式的特例,例如:sin(-α)=sin cos α-cos sin α=-cos α. (2)使用和差公式时,不仅要会正用,还要能够逆用.如化简sin βcos(α+β)-cos βsin(α+β)时,不要将 cos(α+β)和sin(α+β)展开,而应采用整体思想,进行如下变形: sin βcos(α+β)-cos βsin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sin α. (3)应用公式Tα±β时要注意的问题: ①公式的适用范围:由正切函数的定义可知,公式的适用条件是α,β,α+β(或α-β)≠kπ+(k∈Z). ②公式的变形应用:只要用到tan α±tan β,tan αtan β时,有灵活应用公式Tα±β的意识,就不难想到解题思路. (4)运用和差公式求值、化简、证明时,要注意灵活进行三角变换,分析条件中的角与问题结论中的角之间的联系,选用恰当的公式. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　利用公式化简求值 [例1] (1)等于(　　) A.- B.- C. D. (2)已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则 tan αtan β等于(　　) A.2 B.1 C. D.4 (3)=　　　　.  (4)sin 157°cos 67°+cos 23°sin 67°的值为　　　　.  (5)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值为　　　　.  解析:(1) = = = =sin 30°=.故选C. (2)因为tan(α+β)==4,且tan α+tan β=2,所以=4, 解得tan αtan β=.故选C. (3)== =tan(30°-75°)=-tan 45°=-1. (4)原式=sin(180°-23°)cos 67°+cos 23°sin 67° =sin 23°cos 67°+cos 23°sin 67°=sin(23°+67°) =sin 90°=1. (5)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°) =sin(θ+15°+60°)+cos(θ+15°+30°)-cos(θ+15°) =sin(θ+15°)cos 60°+cos(θ+1