8.1.1 向量数量积的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 学习目标 1.理解两个向量夹角的定义与数量积的定义. 2.理解向量的投影与向量数量积的几何意义. 3.掌握数量积的性质与向量垂直的条件. 1.两个向量的夹角 给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点 O,作=a,=b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角,记作<a,b>. 思考1:两个非零向量的夹角的取值范围是什么?求作两个非零向量的夹角时,应该注意什么问题? 答案:两个非零向量的夹角的取值范围是[0,π].求作两个非零向量的夹角时,要使两个向量的起点相同(或重合). 2.向量的数量积 (1)定义:一般地,当a与b都是非零向量时,称|a|·|b|cos<a,b>为向量a与b的数量积(也称为内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)向量数量积的性质: ①|a·b|≤|a||b|; ②a·a=|a|2,即|a|=; ③a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0,即 a⊥b⇔a·b=0. 思考2:向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同?零向量与任一向量的数量积是多少? 答案:数量积的运算结果是实数,线性运算的运算结果是向量.我们规定,零向量与任一向量的数量积为0. 3.向量的投影与数量积的几何意义 (1)投影向量或投影: 如图所示,设非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A′,B′,则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影. 类似地,给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影. 一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们的方向既有可能相同,也有可能相反. (2)投影的数量: 一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<a,b>为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关,但是投影的数量既可能是非负数,也可能是负数. (3)向量数量积的几何意义: 两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与 b的模的乘积. (1)向量夹角的概念要领会,如在正三角形ABC中,与的夹角应为120°,而不是60°. (2)两个向量的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立;两个向量的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立. (3)两个向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当 a=0 或b=0或θ=90°时).在书写数量积时, 向量a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,更不能省略不写. (4)向量b在a上的投影不是数量而是向量,它的符号取决于<a,b>,注意a在b上的投影与b在a上的投影是不同的,应结合图形加以区分. 　求向量的夹角 [例1] (1)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为(　　) A. B. C. D. (2)如图,在△ABC中,已知角A=,则,的夹角为　　　.  解析:(1)由题意,知a·b=|a||b|cos θ=4cos θ=2,所以cos θ=. 又0≤θ≤π,所以θ=. 故选C. (2)根据向量夹角定义可知,向量,夹角为∠BAC,而向量,夹角为π-∠BAC=. 答案:(1)C　(2) 求两向量的夹角:cos<a,b>=,要注意<a,b>∈[0,π]. [针对训练] (1)已知|a|=3,|b|=4,且a·b=-6,则a与b的夹角是　　　　.  (2)在等边三角形ABC中,若E为BC的中点,则向量与的夹角为　　　　.  解析:(1)设a与b的夹角为θ.由题意可得 cos θ==-, 又θ∈[0,π],所以θ=120°. (2)因为E为BC的中点, 所以AE⊥BC, 所以与的夹角为90°. 答案:(1)120°　(2)90° 　数量积的有关概念 [例2] (多选题)下列结论正确的是(　　) A.0·a=0 B.两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 C.由a·b=0可得a=0或b=0 D.若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角 解析:A正确,B正确. C错误.当a与b为非零向量,且a⊥b时,a·b=0. D错误.当a与b同向时,a·b>0; 当a与b反向时,a·b<0.故选AB. 求解此类问题一般需要准确理解相关概念与性质,对于不正确的命题要举出适当的反例进行说明. [针对训练] 已知下列结论:①a·0=0;②0·a=0;③0-=;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a与b是两个单位向量,则a2=b2. 其中正确的是(　　) A.①②③⑥