8.1.3 向量数量积的坐标运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

8.1.3　向量数量积的坐标运算 学习目标 1.掌握向量数量积的坐标表达式,能进行平面向量数量积的坐 标运算. 2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度,会判断两个平面向量的垂直关系. 1.向量数量积的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 2.向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度:已知a=(x,y),则|a|=. (2)两点间的距离:如果A(x1,y1),B(x2,y2),则 ||=. (3)两向量的夹角:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 cos<a,b>=. 思考:与向量a=(x,y)同向的单位向量的坐标如何表示? 答案:由于同向的单位向量a0=,且|a|=,所以a0==(x,y)=(,),此为与向量a=(x,y)同向的单位向量的坐标. 3.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 　平面向量数量积的坐标运算 [例1] (1)已知向量a=(1,2),b=(2,x),且a·b=-1,则x的值等于(　　) A. B.- C. D.- (2)已知向量a=(-1,2),b=(3,2),则a·b=　　　　,a·(a-b)=　　　　.  (3)已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c=　　　　.  解析:(1)因为a=(1,2),b=(2,x), 所以a·b=(1,2)·(2,x)=1×2+2x=-1, 解得x=-.故选D. (2)a·b=(-1,2)·(3,2)=(-1)×3+2×2=1, a·(a-b)=(-1,2)·[(-1,2)-(3,2)]=(-1,2)·(-4,0)=4. (3)设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5, 所以解得 所以c=(,). 答案:(1)D　(2)1　4　(3)(,) (1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a;(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函数、方程等知识的联系. (3)向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充. [针对训练] 已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: (1)a·b; (2)(a+b)·(2a-b); (3)(a·b)·c,a·(b·c). 解:(1)a·b=(1,3)·(2,5)=1×2+3×5=17. (2)因为a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8), 2a-b=2(1,3)-(2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1), 所以(a+b)·(2a-b)=(3,8)·(0,1)=3×0+8×1=8. (3)(a·b)·c=17c=17×(2,1)=(34,17), a·(b·c)=a·[(2,5)·(2,1)]=(2×2+5×1)a=9a=(9,27). 　向量的模的问题 [例2] (1)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于(　　) A.4 B.5 C.3 D.4 (2)已知向量a=(-1,x),b=(x+2,x),若|a+b|=|a-b|,则x=　　　　.  解析:(1)由a∥b,得y+4=0,y=-4,所以b=(-2,-4),所以2a-b=(4,8),所以|2a-b|=4.故选D. (2)因为a=(-1,x),b=(x+2,x),又|a+b|=|a-b|,两边平方得到a·b=0,根据向量的坐标运算公式得到x2-x-2=0,解得x=-1或2. 答案:(1)D　(2)-1或2 向量模的问题的解题策略: (1)字母表示的运算,利用|a|2=a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示的运算,若a=(x,y),则|a|=. [针对训练] 设平面向量a=(3,5),b=(-2,1). (1)求a-2b的坐标和模的大小; (2)若c=a-(a·b)·b,求|c|. 解:(1)因为a=(3,5),b=(-2,1), 所以a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), |a-2b|==. (2)a·b=3×(-2)+5×1=-6+5=-1, 所以c=a+b=(1,6), 所以|c|==. 　向量的夹角与垂直问题 [例3] (1)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=　　　　.  (2)已知a=(3,4),b=(2,-1),且(a+mb)⊥(a-b),问:实数m为何值? (1)解析:因为a=(2,2),b=(-8,6), 所以a·b=2×(-8)+2×6=-4,