8.1.2 向量数量积的运算律-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

8.1.2　向量数量积的运算律 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 1.向量数量积的运算律 交换律:a·b=b·a. 分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. 2.平面向量数量积的运算性质 (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (2)(a-b)2=a2-2a·b+b2; (3)(a+b)·(a-b)=a2-b2; (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. (1)向量的数量积对结合律一般不成立,因为(a·b)·c=|a||b|cos<a,b>·c是一个与c共线的向量,而a·(b·c)=a·(|b||c|cos<b,c>)=|b||c|cos<b,c>·a是一个与a共线的向量,两者一般不同. (2)在实数中,若ab=bc,b≠0,则a=c,在向量中,a·b=b·c,b≠0a=c. 　向量数量积的运算律 [例1] 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求: (1)e1·e2; (2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2); (3)(e1+e2)2. 解:(1)e1·e2=|e1||e2|cos 60°=. (2)由(1)可知e1·e2=,又|e1|=|e2|=1, 所以(2e1-e2)·(-3e1+2e2) =-6+3e2·e1+4e1·e2-2 =-6|e1|2+3×+4×-2|e2|2 =-6+-2=-. (3)(e1+e2)2=+2e1·e2+=1+1+1=3. 求向量的数量积时,常用到的结论: (1)a2=|a|2; (2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R. [针对训练] (1)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列结论: ①a·c-b·c=(a-b)·c; ②(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直; ③|a|-|b|<|a-b|; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的序号是　　　　.  (2)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,则(2a-b)·(a+3b)=　　　　.  解析:(1)根据向量的数量积的分配律知①正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, 所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,②错误; 因为a,b不共线, 所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形, 所以|a|-|b|<|a-b|成立,③正确; ④正确.故正确命题的序号是①③④. (2)(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×16+5×4×2×cos 120°-3×4=0. 答案:(1)①③④　(2)0 　利用夹角和垂直求参数 [例2] 已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角为120°,且 c=a+2b,d=2a+kb.求满足下列条件的k值: (1)c⊥d; (2)c∥d. 解:设c与d的夹角为θ,则由已知得c·d=(a+2b)·(2a+kb)=2a2+(4+k)a·b+2kb2=2×42+(4+k)×4×3×cos 120°+2k·32=8+12k, |c|=|a+2b|===2, |d|=|2a+kb|= = =. 所以cos θ== . (1)当c⊥d时,cos θ=0, 即6k+4=0,解得k=-. (2)当c∥d时,cos θ=±1, 即=±(6k+4), 解得k=4. 利用向量共线或垂直的条件及向量夹角公式,列出含有参数的方程,即可得出参数的值. [针对训练] 已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b.当m为何值时,c与d垂直? 解:若c⊥d,则c·d=0, 所以(3a+5b)·(ma-3b)=0, 即3ma2-9a·b+5ma·b-15b2=0. 由a2=|a|2=9,b2=|b|2=4,a·b=|a|·|b|·cos 60°=3, 得27m-27+15m-60=0,解得m=. 　 数量积在平面几何中的应用 [例3] 如图,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC. 证明:设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0. 因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0.所以⊥,即AD⊥BC. 用向量方法解决平面几何问题的步骤: [针对训练] 如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线B