7.3.2 正弦型函数的性质与图像-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.3.2　正弦型函数的性质与图像 学习目标 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+)的实际意义,了解参数ω,,A的变化对函数图像的影响. 2.会用五点法画函数y=Asin(ωx+)的图像.能根据y=Asin(ωx+)的部分图像确定其解析式. 3.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+)图像间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤. 4.掌握正弦型函数的性质,并能利用正弦型函数的性质解决简单问题. 1.正弦型函数 一般地,形如y=Asin(ωx+)的函数,称为正弦型函数,其中A,ω,都是常数,且A≠0,ω≠0. 2.参数ω,,A对函数y=Asin(ωx+)图像的影响 (1)A(A>0)对y=Asin x的图像的影响. 如图,函数y=Asin x的图像可以看作是把y=sin x图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的. 一般地,函数y=Asin x(A≠0)的定义域为R,值域为[-|A|,|A|],周期为2π. (2)对y=sin(x+),x∈R的图像的影响. 如图,函数y=sin(x+)的图像可以看作是把y=sin x的图像上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平移||个单位而得到的. 一般地,函数y=sin(x+)的定义域为R,值域为[-1,1],周期为2π. (3)ω(ω>0)对y=sin ωx的图像的影响. 如图,函数y=sin ωx的图像可以看作是把y=sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的. 一般地,函数y=sin ωx(ω≠0)的定义域为R,值域为[-1,1],周期为. 3.函数y=Asin(ωx+)的性质 一般地,正弦型函数y=Asin(ωx+)(A≠0,ω≠0)的定义域为R,值域为[-|A|,|A|],周期为. 思考:如何由函数y=sin x的图像得到函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图像? 答案:法一　(先相位变换,再周期变换)先将y=sin x的图像上各点向左(>0)(或向右(<0))平移||个单位,得函数y=sin(x+)的图像;再将函数y=sin(x+)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得 y=sin(ωx+)的图像;再将函数y=sin(ωx+)的图像上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asin(ωx+)的图像. 法二　(先周期变换,再相位变换)先将y=sin x的图像上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的,得函数y=sin ωx的图像;再将函数y=sin ωx的图像上各点沿x轴向左(>0)(或向右(<0))平移||个单位,得 y=sin(ωx+)的图像;再将函数y=sin(ωx+)的图像上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数y=Asin(ωx+)的图像. 4.参数ω,,A的物理意义 如图,小球的中心在正弦型函数x=Asin(ωt+)的图像上. (1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离,称为振幅; (2)在决定t=0时小球的位置(即 Asin )中起关键作用,称为初相; (3)周期T=表示小球完成一次运动所需的时间(小球的位置和速度首次都得到重复时称完成了一次运动); (4)f==表示单位时间内能够完成的运动次数,称为频率. (1) 参数ω,,A对函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)图像的影响: ①A越大,函数图像的最大值越大,最大值与A是正比例关系. ②ω越大,函数图像的周期越小,ω越小,周期越大,周期与ω为反比例关系. ③当大于0时,函数图像向左平移,当小于0时,函数图像向右平移,即“左加右减”. (2)对函数y=Asin(ωx+)性质的几点说明: ①对称性:函数图像与x轴的交点是对称中心,即对称中心是(,0)(k∈Z),对称轴与函数图像的交点的纵坐标是函数的最值,对称轴是直线x=,其中k∈Z. ②对于函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图像,相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期,相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一. ③讨论函数y=Asin(ωx+)的性质要善于采用整体策略,即把ωx+看成一个整体,将问题划归为正弦函数的性质来解决. 　用五点法作y=Asin(ωx+)的图像 [例1] 用五点法作出函数y=sin(x-)的简图. 解:函数y=sin (x-)的周期T==6π,先用五点法作它在长度为一个周期上的图像,列表如下. x π 4π 7π x- 0 π 2π sin(x-) 0 0 - 0 描点、连线,(简图)如图所示, 利用该函数的周期性,把它在一个周期上的图像分别向左、右扩展,从而得到函数y=sin(x-)的简图(图略). (