7.3.5 已知三角函数值求角-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.3.5　已知三角函数值求角 学习目标 1.掌握已知三角函数值求角的方法,会由已知的三角函数值求角,并会用符号arcsin x,arccos x,arctan x表示角. 2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间 [-2π,2π]上对应的角. 1.已知正弦值求角 在区间[-,]内,满足sin x=y(y∈[-1,1])的x只有一个,这个x记作arcsin y,即x=arcsin y. 2.已知余弦值求角 在区间[0,π]内,满足cos x=y(y∈[-1,1])的x只有一个,这个x记作arccos y,即x=arccos y. 3.已知正切值求角 在区间(-,)内,满足tan x=y(y∈R)的x只有一个,这个x记作arctan y,即x=arctan y. 思考:符号arcsin a(a∈[-1,1]),arccos a(a∈[-1,1]),arctan a(a∈R)分别表示什么? 答案:arcsin a表示在区间[-,]上,正弦值为a的角;arccos a表示在区间[0,π]上,余弦值为a的角;arctan a 表示在区间(-,)内,正切值为a的角. 　已知正弦值求角 [例1] (1)(多选题)使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　) A.(-,) B.(,) C.(,) D.(-,-) (2)已知sin x=,根据下列条件求角x. ①x∈[-,];②x∈[0,2π]. (1)解析:-2sin x≥0,解得sin x≤,利用单位圆解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.当k=0时,A正确;当k=1时,C正确.故选AC. (2)解:①因为x∈[-,],所以x=arcsin. ②因为x∈[0,2π],sin x=>0, 所以x∈[0,π]. 当0≤x≤时,x=arcsin , 当<x≤π时,0≤π-x<,且sin(π-x)=sin x=, 所以π-x=arcsin , 则x=π-arcsin , 所以x=arcsin 或x=π-arcsin . (1)已知三角函数值求角的步骤: ①定象限:由已知函数值的正、负确定角所在的象限. ②找锐角:如果函数值为正,先求出对应的锐角α;若函数值为负,则先求出与其绝对值相对应的锐角α. ③求符合条件的角:根据角所在的象限,利用诱导公式写出[0,2π]范围内的角(α,π-α,π+α,2π-α);如果要求出[0,2π]范围外的角,则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果. (2)已知三角函数值求角常有两种方法:一是利用三角函数线,二是利用图像. [针对训练] (1)已知sin α=,根据所给范围求角α. ①α为锐角; ②α∈R. (2)解不等式sin α≥-. 解:(1)①由于sin α=,且α为锐角,即α∈(0,), 所以α=arcsin . ②由于sin α=,且α∈R, 所以符合条件的所有角为α1=2kπ+arcsin (k∈Z), α2=2kπ+π-arcsin (k∈Z), 即α=nπ+(-1)narcsin (n∈Z). (2)如图,作直线y=-交单位圆于A,B两点,则∠xOA=,∠xOB=-. 又sin α≥-,所以α的终边不能与直线AB下方的圆弧有交点, 则有2kπ-≤α≤2kπ+(k∈Z). 即原不等式的解集是{α|2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z}. 　已知余弦值求角 [例2] 已知cos x=-,且x∈[0,2π),求x的取值集合. 解:由于余弦函数值是负值,且不为-1,所以x是第二或第三象限的角,由cos(π-)=-cos =-,所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x=π-=.又cos(+π)=-cos =-,所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x=+π=. 故所求角的集合为{,}. cos x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,则x=arccos a,当x∈R时,可先求得[0,2π]内的所有解,再利用周期性可求得{x|x=2kπ±arccos a,k∈Z}. [针对训练] 已知cos x=-0.287. (1)当x∈[0,π]时,求x; (2)当x∈R时,求x的取值集合. 解:(1)因为cos x=-0.287,且x∈[0,π], 所以x=arccos(-0.287). (2)当x∈R时,先求出x∈[0,2π]上的解. 因为cos x=-0.287,故x是第二或第三象限角, 由(1)知x1=arccos(-0.287)是第二象限角. 因为cos[2π-arccos(-0.287)] =cos[arccos(-0.287)] =-0.287, 且2π-arccos(-0.287)∈(π,), 所以x2=2π-arccos(-0.287). 由余弦函数的周期性知, 当x=2kπ+x1或x=2kπ+x2,k∈Z时, cos