7.3.4 正切函数的性质与图像-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.3.4　正切函数的性质与图像 学习目标 1.能画出y=tan x的图像. 2.借助正切线理解正切函数在(-,)上的性质. 3.会求正切函数的定义域、值域,以及与正切函数有关的函数的周期、单调区间. 1.正切函数 对于任意一个角x,只要x≠+kπ,k∈Z,就有唯一确定的正切值tan x与之对应,因此y=tan x是一个函数,称为正切函数. 2.正切函数y=tan x的性质与图像 函数 y=tan x 图像 定义域 {x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z} 值域 R 奇偶性 奇函数 周期 最小正周期为π 单调性 在开区间(kπ-,kπ+)(k∈Z) 内单调递增 零点 x=kπ(k∈Z) 对称 中心 (,0)(k∈Z) 思考:我们能用五点法简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能简便地画出函数y=tan x,x∈(-,)的简图吗? 答案:能.利用“三点两线法”,找三个关键点:(,1),(0,0),(-,-1),两条平行线:x=,x=-. 3.正切曲线 一般地,y=tan x的函数图像称为正切曲线. 正切函数的单调性:正切函数在每一个开区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都是从-∞增大到 +∞,故正切函数在每一个开区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增,但不能说函数y=tan x在定义域内是增函数. 　正切函数的定义域、值域 [例1] (1)函数y=3tan(-)的定义域为　　　　　　　　;  (2)函数y=-3tan x+7的值域是　;  (3)函数y=tan(2x-),x∈(-,)的值域是　　　　　.  解析:(1)由-≠+kπ,k∈Z, 得x≠--4kπ,k∈Z, 即函数的定义域为{x|x≠--4kπ,k∈Z}. (2)因为y=tan x,x∈R的值域为R, 所以y=-3tan x+7的值域也为R. (3)因为-<x<,所以-<2x-<, 所以tan(2x-)<1,即函数的值域为(-∞,1). 答案:(1){x|x≠--4kπ,k∈Z} (2)R　(3)(-∞,1) 求正切函数定义域的方法: (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan(ωx+)(A≠0,ω≠0)的定义域时,要将“ωx+”视为一个整体,令ωx+≠kπ+,k∈Z,进而求得x. [针对训练] (1)求函数y=的定义域; (2)求下列函数的值域. ①y=tan(x-),x∈[0,); ②y=tan2x+4tan x-1. 解:(1)要使y=有意义, 需满足 所以 所以 所以原函数的定义域为{x|x≠kπ+,且x≠kπ+,k∈Z}. (2)①因为x∈[0,), 所以-≤x-<, y=tan(x-)在[0,)上为增函数, 且tan(-)=-1, 所以函数y=tan(x-),x∈[0,)的值域为[-1,+∞). ②令t=tan x,则t∈R, y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5, 所以函数y=tan2x+4tan x-1的值域为[-5,+∞). [备用例题] (1) 函数y=tan(sin x)的定义域为　　　　,值域为　　　　　.  (2)求函数y=+lg(1-tan x)的定义域. (3)求下列函数的定义域. ①y=tan(x+); ②y=. (1)解析:因为-1≤sin x≤1, 所以tan(-1)≤tan(sin x)≤tan 1, 所以y=tan(sin x)的定义域为R, 值域为[-tan 1,tan 1]. 答案:R　[-tan 1,tan 1] (2)解:由题意得 即-1≤tan x<1. 在(-,)内,满足上述不等式的x的取值范围是[-,). 又y=tan x的周期为π, 所以所求x的取值范围是[kπ-,kπ+)(k∈Z), 即函数定义域是[kπ-,kπ+)(k∈Z). (3)解:①由x+≠kπ+(k∈Z)得,x≠kπ+,k∈Z, 所以函数y=tan(x+)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}. ②由-tan x≥0得,tan x≤. 结合y=tan x的图像(图略)可知,在(-,)上, 满足tan x≤的角x应满足-<x≤, 所以函数y=的定义域为{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}. 　正切函数的单调性及应用 [例2] (1)求函数y=3tan(-2x)的单调区间; (2)比较大小:tan 259°与tan 233°. 解:(1)y=3tan(-2x)=-3tan(2x-), 由-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z得, -+<x<+,k∈Z, 所以y=3tan(-2x)的单调递减区间为(-+,+),k∈Z,无单调递增区间. (2)因为tan 259°=tan(180°+79°)=tan 7