7.3.3 余弦函数的性质与图像-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.3.3　余弦函数的性质与图像 学习目标 1.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值,能利用性质解决一些简单的问题. 2.会利用诱导公式画出余弦函数的图像,理解正弦、余弦函数的图像,知道它们之间的关系. 3.能用五点法画出余弦函数的图像,并能利用其图像解决简单的问题. 1.余弦函数与余弦曲线 因为对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦 cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数.函数y=cos x的图像称为余弦曲线. 2.余弦曲线与正弦曲线的关系 由于y=cos x=sin(x+),因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移个单位得到. 3.余弦函数的性质 函数 y=cos x 定义域 R 值域 [-1,1] 最值 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1; 当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期为2π 单调性 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增, 在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减 零点 x=+kπ(k∈Z) 4.余弦函数的图像 函数 y=cos x 图像 图像画法 五点法 关键五点 (0,1),(,0),(π,-1),(,0), (2π,1) 对称轴 x=kπ(k∈Z) 对称中心 (+kπ,0)(k∈Z) 　余弦函数的图像及应用 [例1] (1)用五点法作出函数y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图; (2)利用余弦函数的图像解不等式cos x≤. 解:(1)列表. x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2+cos x 3 2 1 2 3 描点、连线,如图所示. (2)作出余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像,如图所示,由图像可以得到满足条件的x的集合为[+2kπ,+2kπ],k∈Z. (1)用五点法画函数y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤: ①列表: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 y A+b b -A+b b A+b ②描点:在平面直角坐标系中描出五个点(0,y1),(,y2),(π,y3),(,y4),(2π,y5),这里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的. ③连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到余弦函数y=Acos x+b(A≠0)的图像. 提醒:作图像时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度. (2)用三角函数图像解三角不等式的步骤: ①作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图像; ②写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集; ③根据公式写出定义域内的解集. [针对训练] (1)利用五点法作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图; (2)根据函数图像解不等式sin x>cos x,x∈[0,2π]. 解:(1)①取值列表如下. x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 -1-cos x -2 -1 0 -1 -2 ②描点、连线,如图所示. (2)函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的图像如图所示. 观察图像可知,sin x>cos x,x∈[0,2π]的解集为{x|<x<}. [备用例1] 求函数f(x)=lg(cos x)+的定义域. 解:由题意,得x满足不等式组 即作出y=cos x的图像(简图),如图所示. 结合图像可得x∈[-5,-)∪(-,)∪(,5]. 　余弦函数的图像变换 [例2] (1)将函数y=cos x的图像上的所有点向左平移(0≤<2π)个单位后,得到函数y=sin(x-)的图像,则等于(　　) A. B. C. D. (2)将函数f(x)=cos 2x的图像上的所有点向左平移个单位,得到函数g(x)的图像,则g(0)的值为　　　　.  解析:(1)将函数y=cos x的图像上的所有点向左平移(0≤<2π)个单位后, 得到函数y=cos(x+)的图像. 当=时,利用诱导公式可得其图像与函数y=sin(x-)的图像一样.故选C. (2)将函数f(x)=cos 2x的图像上的所有点向左平移个单位,得到图像对应的函数解析式为 g(x)=cos[2(x+)]=cos(2x+), 所以g(0)=cos =. 答案:(1)C　(2) 余弦函数的图像变换与正弦型函数的变换方式相同,注意不同名时,先利用诱导公式转化为同名三角函数;自变量系数不为“1”时,提取系数后观察自变量的变化值,进而确定平移的单位个数.总之,图像变换要遵循“法则对法则,位置对位置”的原则. [针对训