7.2.1 三角函数的定义-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 学习目标 1.理解并掌握任意角的三角函数定义. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.能利用定义求解简单的三角函数值. 1.任意角的正弦、余弦与正切的定义 如图,对于任意角α来说,设 P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=.一般地,称为角α的正弦,记作 sin α;称为角α的余弦,记作 cos α.因此sin α=,cos α=.当角α的终边不在 y轴上时,称为角α的正切,记作 tan α,即 tan α=. 由上可知,对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当α≠kπ+(k∈Z)时,有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切,都称为 α的三角函数. 思考:对于确定的角α,sin α,cos α,tan α会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗? 答案:根据相似三角形的知识,不会随点P在终边上的位置的改变而改变. 2.正弦、余弦与正切在各象限的符号 如图所示. 正弦:一二象限正,三四象限负; 余弦:一四象限正,二三象限负; 正切:一三象限正,二四象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)三角函数也是函数,是以角为自变量,以坐标的比值为函数值的函数;三角函数值只与角α的大小有关,即由角α的终边位置决定. (2)当任意角α的终边落在y轴上时,正切函数无意义,因此正切函数的定义域为{α|α≠kπ+,k∈Z}. 　三角函数的定义及应用 [例1] (1)(多选题)已知角α的终边过点P(12,a),且tan α=,则下列正确的是(　　) A.sin α= B.cos α= C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=- (2)已知角α的终边为射线y=-x(x≥0),求角α的正弦、余弦和正切. (1)解析:根据三角函数的定义,tan α==, 所以a=5,所以P(12,5), 这时r==13, 所以sin α=,cos α=, sin α+cos α=, sin α-cos α=-.故选CD. (2)解:由得x2+x2=1, 即25x2=16,x=或x=-. 因为x≥0, 所以x=, 从而y=-. 所以角α的终边与圆x2+y2=1的交点坐标为(,-). 所以sin α=y=-,cos α=x=,tan α==-. 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 (1)当已知角α的终边在直线上时,在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则 sin α=,cos α=. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母的正、负进行辨别,若正、负未定,则需分类讨论. [针对训练] (1)若sin α=,cos α=-,则在角α终边上的点有(　　) A.(-4,3) B.(3,-4) C.(4,-3) D.(-3,4) (2)若α=-,则sin α=　　　　,cos α=　　　　,tan α=　　　　.  (3)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,则sin θ=　　　　.  解析:(1)由sin α,cos α的定义知x=-4,y=3,r=5时,满足题意.故选A. (2)因为角-的终边与单位圆交于点P(,-), 所以sin α=-,cos α=,tan α=-. (3)由题意知r=|OP|=, 由三角函数定义得cos θ==. 又因为cos θ=x,所以=x. 因为x≠0,所以x=±1. 当x=1时,P(1,3), 此时sin θ==. 当x=-1时,P(-1,3), 此时sin θ==. 综上所述,sin θ=. 答案:(1)A　(2)-　　-　(3) [备用例题] 如图,∠AOP=,点Q与点P关于 y轴对称,P,Q都为角的终边与单位圆的交点. 求:(1)点P的坐标; (2)∠AOQ的正弦、余弦. 解:(1)设点P的坐标为(x,y), 则x=cos∠AOP=cos =, y=sin∠AOP=sin =. 故点P的坐标为(,). (2)因为点P与点Q关于y轴对称, 所以点Q的坐标为(-,). 根据正弦、余弦的定义可知 sin∠AOQ=,cos∠AOQ=-. 　判定已知角的三角函数值的符号 [例2] 确定下列各值的符号. (1)tan 125°·sin 273°; (2)sin ·cos ·tan ; (3)tan 191°-cos 191°. 解:(1)因为125°是第二象限角, 所以tan 125°<0, 因为273°是第四象限角, 所以sin 273°<0, 所以tan 125°·sin 273°>0. (2)因为是第三象限角,是第二象限角,是第四象限角, 所以sin <0,cos <0,tan <0, 所以sin ·cos ·tan