7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,tan α=(α≠kπ+,k∈Z). 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:tan α=.  思考:对任意的角α,sin22α+cos22α=1是否成立? 答案:成立.平方关系中强调的同一个角且是任意的,与角的表达形式无关. 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,这里“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下). 　利用同角三角函数的基本关系式求值 [例1] (1)(多选题)若sin α=,且α为锐角,则下列选项正确的是(　　) A.tan α= B.cos α= C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=- (2)已知tan α=-,求: ①的值; ②2sin αcos α+cos2α的值. (1)解析:因为sin α=,且α为锐角, 所以cos α===,故选项B正确; 所以tan α===,故选项A正确; 所以sin α+cos α=+=≠,故选项C错误; 所以sin α-cos α=-=≠-,故选项D错误. 故选AB. (2)解:①因为tan α=-, 所以===. ②由tan α=-, 得2sin αcos α+cos2α===-. 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α=m,可以先应用公式cos α=±求得cos α的值,再由公式tan α=求得tan α的值. (2)若已知cos α=m,可以先应用公式sin α=±求得sin α的值,再由公式tan α=求得tan α的值. (3)若已知tan α=m,可以求或的值,将分子、分母同除以cos α或cos2α,化成关于tan α的式子,从而达到求值的目的. (4)对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后,分子、分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值. [针对训练] (1)已知tan θ=2,θ为第三象限角,则sin θ等于(　　) A. B.- C. D.- (2)已知=2,则=　　　　.  解析:(1)因为tan θ=2,θ为第三象限角, 所以 解得sin θ=-.故选B. (2)由=2, 化简得sin α=3cos α, 所以tan α=3. 原式==. 答案:(1)B　(2) [备用例1] (1)已知cos α=-,求13sin α+5tan α 的值. (2)已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1. 求:①tan α; ②. 解:(1)法一　因为cos α=-<0,所以α是第二或第三象限角. 若α是第二象限角, 则sin α===, tan α===-, 故13sin α+5tan α=13×+5×(-)=0. 若α是第三象限角, 则sin α=-=-=-, tan α===, 故13sin α+5tan α=13×(-)+5×=0. 综上可知,13sin α+5tan α=0. 法二　因为tan α=, 所以13sin α+5tan α=13sin α(1+·)= 13sin α[1+×(-)]=0. (2)①由条件得 =1 ⇒=1 ⇒4tan2α-3tan α-1=0 ⇒tan α=-或tan α=1. ②原式=, 当tan α=-时,原式=; 当tan α=1时,原式=. 　sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系 [例2] 已知0<θ<π,且sin θ+cos θ=,求: (1)sin θ-cos θ的值; (2)tan θ的值. 解:(1)因为sin θ+cos θ=, 所以(sin θ+cos θ)2=, 解得sin θcos θ=-. 又0<θ<π,且sin θcos θ<0, 所以sin θ>0,cos θ<0, 所以sin θ-cos θ>0. 又因为(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=, 所以sin θ-cos θ=. (2)由sin θ+cos θ=,sin θ-cos θ=. 解得sin θ=,cos θ=-, 所以tan θ==-. 关于sin θ±cos θ,sin θcos θ的求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有: ①(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ; ②(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ; ③(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2; ④