7.2.2 单位圆与三角函数线-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.2.2　单位圆与三角函数线 学习目标 1.了解三角函数线的定义和意义. 2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.会利用三角函数线比较三角函数值的大小,会解简单的三角不等式. 1.单位圆 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.因此,如果角α的终边与单位圆的交点为P,则P的坐标为(cos α,sin α).这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆的交点的横坐标和纵坐标.  2.三角函数线 (1)正弦线和余弦线 如图,如果过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,则 可以直观地表示cos α:的方向与x轴的正方向相同时,表示cos α是正数,且 cos α=||;的方向与x轴的正方向相反时,表示 cos α 是负数,且cos α=-||.习惯上,称为角α的余弦线.类似地,图中的可以直观地表示sin α,因此称为角α的正弦线. 利用角的正弦线和余弦线,可以直观地看出角的正弦和余弦的信息,如图所示,角β的余弦线是 , 正弦线是,由此可以看出cos β<0,sin β<0,而且还可以看出|cos β|>|cos α|,类似地,可知 |sin α|>|sin β|. (2)正切线 如图,设角α的终边与直线x=1交于点T,则可以直观地表示tan α,因此称为角α的正切线.角α的正切等于角α的终边或其反向延长线与直线x=1的交点的纵坐标. (3)三角函数线 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 思考:三角函数正切线的方向能表示正切函数的正负吗? 答案:能,当正切线与y轴正向同向时,所表示正切值为正的,与y轴正向反向时,所表示正切值为负的. 三角函数线都是有向线段,因此在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序也不能颠倒. 　三角函数线的作法 [例1] 作出的正弦线、余弦线和正切线. 解: 角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴,垂足为M,过A(1,0)作直线AT:x=1,与的终边的反向延长线交于点T,则的正弦线为,余弦线为,正切线为. 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线. (2)作正切线时,过点A(1,0)引x轴的垂线,交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T,即可得到正切线. [针对训练] 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1)-;(2);(3). 解:如图. 其中为正弦线,为余弦线,为正切线. [备用例1] 角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么α的值为(　　) A. B. C. D.或 解析:根据三角函数值的符号可知,当角α在第二、第四象限时,角α的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长度相等,0<α<2π,所以 α=或.故选D. [备用例2] 角和有相同的(　　) A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 解析:在同一直角坐标系中作出角和的三角函数线,比较可得,具有相同的正切线,故选C. 　利用三角函数线解不等式 [例2] 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围. (1)cos α>-;(2)tan α≤;(3)|sin α|≤. 解:(1)如图,由余弦线知,角α的取值范围是 {α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}. (2)如图,由正切线知,角α的取值范围是{α|kπ-<α≤kπ+,k∈Z}. (3)由|sin α|≤, 得-≤sin α≤. 如图,由正弦线知,角α的取值范围是{α|kπ-≤α≤kπ+,k∈Z}. [变式探究] 将例2(1)的不等式改为“cos α<”,求α的取值范围. 解:如图,由余弦线知,角α的取值范围是 {α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}. 利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b,cos x≥a(sin x≤b,cos x≤a),求解关键是恰当地寻求点,只需作直线y=b或x=a与单位圆相交,连接原点与交点,即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围. (2)正切型不等式的解法 对于tan x≥c,取点(1,c),连接该点和原点,并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合图像可确定相应的范围. 提醒:在一定范围内先找出符合条件的角,再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合. [备用例3] 利用三角函数线证明:|sin α|+|cos α|≥1. 证明:如图所示,在△OMP中,OP=1,||= |cos α|,||=|sin α|, 因为三角形两边之和大于第三边, 所以|sin α|+|cos α|>1. 当点P在坐标轴上时,|si