7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 学习目标 1.了解弧度制. 2.能进行角度与弧度的互化. 3.掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1.角的单位制 (1)角度制 把圆周等分成360份,其中每一份所对应的圆心角为 1度,这种用度作单位来度量角的制度称为角度制. 规定1度等于60分,1分等于60秒,即1°=60′,1′=60″. (2)弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad.这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. (3)角的弧度数的求法 在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad,则α=.由此也可以得到l=αr,即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积. 思考:比值与所取的圆的半径大小是否有关? 答案:一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关. 2.角度制与弧度制的换算公式 设一个角的角度数为n,弧度数为α,则=. 3.弧长与扇形面积公式 　　　公式 度量制　　　　 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l=α·r (0<α<2π) S=lr=αr2 (0<α<2π) (1)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两个字可以省略不写,如2 rad的单位“rad”可省略不写,只写2. (2)在弧度制下,角的集合与实数集R之间就建立了一一对应的关系.一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. (3)一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π (4)由扇形的弧长及面积公式可知:对于α,r,l,S“知二求二”,它实质上是方程思想的运用. 　角度与弧度的互化 [例1] 将下列角度与弧度进行互化: (1)20°;(2)-800°;(3);(4)-. 解:(1)20°=20× rad= rad. (2)-800°=-800×=-. (3) rad=×180°=105°. (4)- rad=-×180°=-396°. 在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×=度数. [针对训练] (1)把112°30′化成弧度; (2)把-化成角度数. 解:(1)112°30′=()°=×=. (2)-=-×=-75°. [备用例1] 已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,=,试比较α,β,γ,θ,的大小.(π≈3.14) 解:法一　(化为弧度) α=15°=15×=, θ=105°=105×=. 显然<<1<.故α<β<γ<θ=. 法二　(化为角度数) β==×=18°,γ=1≈57.32°, =×=105°. 显然,15°<18°<57.32°<105°. 故α<β<γ<θ=. 　用弧度制表示角的集合 [例2] 已知角α=2 005°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)在[-5π,0)内找出与α终边相同的角. 解:(1)2 005°=2 005× rad= rad= (5×2π+)rad,又π<<, 所以角α与终边相同,是第三象限角. (2)与α终边相同的角为2kπ+(k∈Z), 由-5π≤2kπ+<0,k∈Z, 知k=-1,-2,-3. 所以在[-5π,0)内与α终边相同的角是-,-,-. 当用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用. [针对训练] 用弧度表示顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合. 解:题图中,以OB为终边的330°角与-30°角的终边相同,-30°=-,而75°=75×=, 阴影部分(不包括边界)位于-与之间且跨越x轴的正半轴. 所以终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|-+2kπ<α<+2kπ,k∈Z}. [备用例2] 终边经过点(a,a)(a≠0)的角α的集合是(　　) A.{} B.{,} C.{α|α=+2kπ,k∈Z} D.{α|α=+kπ,k∈Z} 解析:因为角α的终边经过点(a,a)(a≠0), 所以角α的终边落在直线y=x上, 所以角α的集合是{α|α=+kπ,k∈Z}. 故选D. 　与扇形的弧长、面积有关的计算 [例3] 已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 解:设扇形的半径为r,圆心角为α,弧长为l,面积为S. 则l=20-2r, 所以S=lr=(20-2r)·r= -r2+10r=-(r