7.1.1 角的推广-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 学习目标 1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念. 2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角. 3.理解终边相同的角的含义及其表示,并能解决有关问题. 1.角的概念 (1)角的概念:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类: 名称 定义 图形 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 射线没有旋转时形成的角 这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角. (3)任意角:任意角包括正角、负角和零角. 思考1:如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗? 答案:不一定,零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角,如360°,-360°等. [做一做] 将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为　　　　,将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为　　　　.  答案:-25°　395° 2.象限角 角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限. 思考2:锐角属于第几象限角?钝角又属于第几象限角? 答案:锐角属于第一象限角,钝角属于第二象限角. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角组成一个集合,这个集合记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,当k=0时对应元素为α. [做一做] 与600°角终边相同的角可表示为　　　　.  答案:240°+k·360°(k∈Z) (1)对角的概念的认识关键是抓住“旋转得角”四个字. ①从哪儿开始转——始边. ②以什么方向转——正负角. ③转了多少——角度. ④转到哪个位置——终边. (2)对终边相同的角的理解. ①终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同. ②k∈Z,即k为整数这一条件不可缺少. ③终边相同的角的表示不唯一. 　角的概念 [例1] (多选题)下列命题不正确的是(　　) A.终边与始边重合的角是零角 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 C.在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D.小于90°的角是锐角 解析:终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A错;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与-330°,故B错;由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确;小于90°的角可能是零角,也可能是负角,故D错误.故选ABD. 理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可. [针对训练] 写出图(1)(2)中的角α,β,γ的度数. 解:图(1)中,α=360°-30°=330°; 图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°,γ=360°+60°+150°=570°. [备用例1] (1)经过2个小时,钟表上的时针旋转了(　　) A.60° B.-60° C.30° D.-30° (2)如图所示,射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置,接着逆时针旋转100°到OC位置,然后再顺时针旋转240°到OD位置,求∠AOD的大小. (1)解析:钟表的时针旋转一周是-360°,其中每小时旋转=-30°,所以经过2个小时应旋转-60°.故选B. (2)解:∠AOB=90°,∠BOC=100°,∠COD=360°-240°=120°,∠AOD=∠BOC-∠AOB+∠COD=100°-90°+120°=130°. 　终边相同的角和区域角的表示 [例2] (1)写出与α=-1 910°终边相同的角的集合,并把集合中满足不等式-720°≤β<360°的元素β写出来; (2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合. 解:(1)与角α=-1 910°终边相同的角的集合为 {β|β=-1 910°+k·360°,k∈Z}. 因为-720°≤β<360°, 所以-720°≤-1 910°+k·360°<360°, 所以3≤k<6. 又k∈Z,故k=4,5,6, 当k=4时,β=-1 910°+4×360°=-470°. 当k=5时,β=-1 910°+5×360°=-110°. 当k=6时,β=-1 910°+6×360°=250°. (2)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°