7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课时作业word（人教B版2019）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 选题明细表 知识点、方法 题号 利用同角关系求三角函数值 1,2,6 三角函数式的化简 3,5,9 三角函数式的证明 11 sin α±cos α与sin αcos α的关系 4,7,8,10,12 基础巩固 1.下列结论成立的是(　C　) A.sin α=,且cos α= B.tan α=2,且= C.tan α=1,且cos α=± D.sin α=1,且tan αcos α=1 解析:A中,sin2α+cos2α=≠1,故不成立; B中,=,即tan α=3,与tan α=2矛盾,故不成立;D中,sin α=1时,角α的终边落在y轴的非负半轴上,此时tan α无意义,故不成立.故选C. 2.(多选题)已知sin θ=-,且cos θ >0,则(　AB　) A.tan θ<0 B.tan2θ > C.sin2θ >cos2θ D.sin θ -cos θ= 解析:因为sin θ=-,且cos θ >0, 所以θ为第四象限角, 所以cos θ===, tan θ==-<0,故A正确; tan2θ=>,故B正确; sin2θ=<cos2θ=,故C错误; sin θ -cos θ=,故D错误.故选AB. 3.化简(其中α为第二象限角)的结果为(　A　) A.-cos α B.cos α C.- D. 解析:由于α为第二象限角, 所以====|cos α|=-cos α.故选A. 4.若α是三角形的最大内角,且sin α-cos α=,则此三角形是(　B　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 解析:将sin α-cos α=两边平方,得1-2sin αcos α=,即 2sin αcos α=.又α是三角形的最大内角,所以sin α>0,cos α> 0,所以α为锐角.故选B. 5.化简(+)(1-cos α)的结果是　　　　.  解析:原式=(+)(1-cos α) == ==sin α. 答案:sin α 6.已知tan α=2,则=　　　　,=　　　　.  解析:因为tan α=2, 所以===, 所以===1. 答案:　1 能力提升 7.已知-<θ<,且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),则关于tan θ的值,在以下四个答案中,可能正确的是(　C　) A.-3 B.3或 C.- D.-3或- 解析:因为sin θ+cos θ=a,a∈(0,1),两边平方整理得 sin θcos θ=<0,故-<θ<0且cos θ>-sin θ,所以|cos θ|> |sin θ|,借助三角函数线可知-<θ<0,-1<tan θ<0.故选C. 8.(多选题)已知sin α+cos α=,则tan α的值为(　AC　) A. B.- C. D.- 解析:由sin α+cos α=, 两边平方得2sin αcos α=, 所以sin α-cos α=± =±=±, 由解得sin α=,cos α=, 则tan α=. 由解得sin α=,cos α=, 则tan α=. 故选AC. 9.当α≠(k∈Z)时,(cos α+)(sin α+tan α)的值(　A　) A.恒为正 B.恒为负 C.恒非负 D.可正可负 解析:(cos α+)(sin α+tan α)=sin αcos α+cos α· +sin α·+1=sin α+cos α+1+sin αcos α=(1+sin α) (1+cos α). 因为α≠,k∈Z,所以1+sin α>0,1+cos α>0,故选A. 10.已知sin α,cos α是关于x的一元二次方程2x2-x-m=0的两根,则sin α+cos α=　　　　　,m=　　　　. 解析:由题意知 因为(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α, 所以=1-m,所以m=. 答案:　 11.求证:=1. 证明:左边=== ==1=右边. 原式得证. 应用创新 12.是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦? 解:设这两个锐角为A,B, 因为A+B=90°,所以sin B=cos A, 所以sin A,cos A为8x2+6kx+2k+1=0的两个根. 所以 ②代入①2,得9k2-8k-20=0, 解得k1=2,k2=-, 当k=2时,原方程变为8x2+12x+5=0, 因为Δ<0,所以方程无解;将k=-代入②, 得sin Acos A=-<0, 所以A是钝角,与已知直角三角形矛盾.所以不存在满足已知条件 的k. 学科网（北京）股份有限公司 $