8.2.3 倍角公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课时作业word（人教B版2019）

8.2.3　倍角公式 选题明细表 知识点、方法 题号 利用倍角公式化简、求值 1,2,3,4,7,8,10 倍角公式的综合应用 5,6,9,11,12 基础巩固 1.sin 105° cos 105°的值为(　B　) A. B.- C. D.- 解析:sin 105°cos 105°=sin 210°= sin(180°+30°)= -sin 30°=-.故选B. 2.(多选题)下列选项中,值为的是(　AB　) A.cos 36°cos 72° B.sin sin C.+ D.-cos215° 解析:对于A,cos 36°cos 72° = = ==,故A正确; 对于B,sin sin =sin cos =·2sin cos =sin =,故B正确; 对于C,原式= = ===4,故C错误; 对于D,-cos215°=-(2cos215°-1)=-cos 30°=-,故D错误. 故选AB. 3.的值是(　D　) A.sin 2 B.-cos 2 C.cos 2 D.-cos 2 解析:原式===-cos 2.故选D. 4.若 =,则tan 2α等于(　A　) A. B.- C. D.- 解析:因为=, 整理得tan α=-3, 所以tan 2α===.故选A. 5.设a=2sin cos ,b=cos25°-sin25°,c=,则(　C　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 解析:a=2sin cos =sin , b=cos25°-sin25°=cos 10°=sin 80°=sin , c==tan 60°==sin , 又y=sin x在(0,)上单调递增, 且0<<<<, 所以c<a<b.故选C. 6.若2±是方程x2-5xsin θ+1=0的两根,则cos 2θ 等于　　　. 解析:由题意,得5sin θ=4,即sin θ=, 所以cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×=-. 答案:- 能力提升 7.已知等腰三角形顶角的余弦值为 ,则底角的正切值为(　C　) A.- B. C.3 D.-3 解析:设等腰三角形顶角为α,底角为β, 则2β=π-α, 所以cos 2β=cos(π-α)=-cos α=-, 所以2cos2β-1=-, 由cos β>0, 得到cos β=, 所以sin β===, 所以tan β==3.故选C. 8.若=,则cos(-2α)的值为(　A　) A. B.- C.- D. 解析:因为=, 所以=, 所以cos α-sin α=, 平方得1-2cos αsin α=, 所以sin 2α=, 所以cos(-2α)=sin 2α=.故选A. 9.下列关于函数f(x)=1-2sin2(x-)的说法错误的是(　C　) A.最小正周期为π B.最大值为1,最小值为-1 C.函数图像关于直线x=0对称 D.函数图像关于点(,0)对称 解析:f(x)=1-2sin2(x-)=cos(2x-)=sin 2x, 函数f(x)的最小正周期T=π,A正确; 最大值为1,最小值为-1,B正确; 由2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,得函数图像关于直线x=+,k∈Z对称,C不正确. 由2x=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,得函数图像关于点(,0),k∈Z对称, D正确.故选C. 10.已知cos(-x)=a,且0<x<,则的值用a表示为　　　　　. 解析:= =(sin x+cos x) =2×(sin x+cos x) =2(cos cos x+sin sin x) =2cos(-x)=2a. 答案:2a 11.已知函数f(x)=cos(2x+)+sin2x-cos2x+2sin xcos x. (1)化简f(x); (2)若f(α)=,2α是第一象限角,求sin 2α. 解:(1)f(x)=cos 2x-sin 2x-cos 2x+ sin 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-). (2)f(α)=sin(2α-)=,2α是第一象限角, 即2kπ<2α<+2kπ(k∈Z), 所以2kπ-<2α-<+2kπ(k∈Z), 所以cos(2α-)=, 所以sin 2α=sin[(2α-)+] =sin(2α-)cos +cos(2α-)sin =×+× =. 应用创新 12.已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,A是上的动点,AB∥OQ, OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C,求使矩形ABOC的面积最大的A点的位置,,并求出这个最大面积. 解:连接OA.如图, 设∠AOB=α,0<α<, 则OB=cos α,AB=sin α. 所以矩形的面积S=OB·AB=cos αsin α=sin 2α. 由于0<α<,