8.1.1 向量数量积的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课时作业word（人教B版2019）

8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 选题明细表 知识点、方法 题号 求向量的数量积 3,4,5,11 向量的夹角与模 1,7 向量的投影与数量积的几何意义 2,6,8,10 向量数量积的应用 9,12 基础巩固 1.已知在▱ABCD中,∠DAB=30°,则与的夹角为(　D　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:如图所示,=,=,所以与的夹角为∠ABC=150°.故选D. 2.已知|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a在b上的投影的数量是(　D　) A.- B.-1 C. D.1 解析:a在b上的投影的数量为|a|cos<a,b>==1.故选D. 3.在边长为 的正三角形ABC中,设 =c,=a,=b,则a·b+b·c+c·a等于(　D　) A.0 B.1 C.3 D.-3 解析:因为在正三角形ABC中,a·b=|a||b|·cos 120°=-1, b·c=|b||c|cos 120°=-1,c·a=|c||a|cos 120°=-1. 所以a·b+b·c+c·a=-3.故选D. 4.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是(　A　) A.· B.· C.· D.· 解析:设正六边形的边长为a,则·=a2,·=a2, ·=0,·=-a2.故选A. 5.已知a是非零向量,e是单位向量,则下列表示正确的是(　C　) A.a·e=|a| B.a·e<|a| C.a·e≤|a| D.|a·e|<|a| 解析:因为a是非零向量,e是单位向量,则a·e=|a||e|cos<a,b>= |a|cos<a,b>≤|a|,|a·e|≤|a|.故选C. 6.已知向量a在向量b上的投影的数量是,|b|=3,则 a·b的值为　　　　.  解析:a·b=|a||b|cos<a,b>=|b||a|cos<a,b>=3×=2. 答案:2 能力提升 7.(多选题)在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,AH为边BC上的高,以下结论正确的为(　ACD　) A.·(-)=0 B.·<0⇒△ABC为钝角三角形 C.·=csin B D.·(-)=a2 解析:因为AH为边BC上的高, 所以·=0, 所以·(-)=0,A正确; 因为·=-||||cos B<0, 所以cos B>0,所以B是锐角,B错误; ·==||=csin B,C正确; 因为 -=,所以 ·(-)==a2,D正确.故选ACD. 8.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则·等于(　D　) A.4 B.-4 C.8 D.-8 解析:设AB的中点为M,连接OM, 则OM⊥AB,则·=2· =2||||cos(π-∠OAB) =-2×2·||·cos∠OAB =-4||=-8.故选D. 9.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,我国的《九章算术》也有记载,所以商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有 △ABC满足“勾3股4弦5”,其中AB=4,D为弦BC上一点(不含端点),且△ABD满足勾股定理.则·等于(　D　) A. B. C. D. 解析:依题意可得,AD⊥BC, 由等面积法知AD==, 又在上的投影的数量为||, 所以·=||2=.故选D. 10.在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ACB=,D是BC的中点,则在上的投影的数量是　　　　.  解析:如图所示,作向量=,则与的夹角为∠ABE=π-=,所以 在 上的投影的数量为||cos=2×(-)=-. 答案:- 11.如图,在平行四边形ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB= 60°.求: (1)·; (2)·; (3)·. 解:(1)因为在▱ABCD中, 与 平行, ||=||,且方向相同, 所以与的夹角为0°, 所以·=||||cos 0°=3×3×1=9. (2)因为与的方向相反,||=||, 所以与的夹角是180°, 所以·=||||cos 180°=4×4×(-1)=-16. (3)因为与的夹角是60°,所以与的夹角是120°,所以·=||||cos 120°=4×3×(-)=-6. 应用创新 12.如图所示,一个大小为5 N,与水平方向夹角为37°的拉力F作用在小车上,小车沿水平方向向右运动.运动过程中,小车受到的阻力大小为3 N,方向水平向左.小车向右运动的距离为2 m的过程中,小车受到的各个力都没有发生变化.求在此过程中:拉力F对小车做的功为　　　　,小车克服阻力做的功为　　　　.(取cos 37°≈0.8)  解析:拉力F对小车做的功WF=FScos θ=5×2×0.8 J=8 J, 小车克服阻力做的功W克f=-W